Пусть функция y = определена в точке x и ее окрестности. Пусть аргумент x получил приращение . Тогда функция y = получит приращение .
Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Таким образом,
. (1)
Производная функции y = обозначается как y¢, , или .
В общем случае для каждого значения х производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от х.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.
Если функция y = имеет производную в точке , т.е., если существует
то говорят, что в этой точке функция y = дифференцируема.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (a, b), то говорят, что она дифферцируема на отрезке [a, b] или, соответственно, в интервале (a, b).
Выражения «функция дифференцируема» и «функция имеет производную» означают одно и то же.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
В таблице приведены производные основных элементарных функций.
1. ( )
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть С – постоянная, и - дифференцируемые функции.
Правило 1. (С f (x))¢ = С f ¢ (x).
Правило 2. .
Правило 3. .
Правило 4. ,
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть функция u = j(x) имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке u(x). Тогда сложная функция имеет производную в точке x, найти которую можно по формуле
. (2)
Функцию называют внешней функцией, а функцию u(x) – внутренней функцией или промежуточным аргументом.
Пример 1.
Найти производную функции .
Решение.
Преобразуем данную функцию к виду
.
Используя правила дифференцирования 1 и 2, а также таблицу производных (пункт 4), получим:
Пример 2.
а) Найти производную функции y = .
Решение.
Данная функция является сложной функцией с промежуточным аргументом .
Тогда по формуле (2) можем записать:
.
Так как , а , то окончательно получаем:
Можно обойтись и без подробных записей:
Нижний индекс показывает, по какому аргументу ведется дифференцирование. Далее будет часто использоваться именно такая форма записи.
б)y = cos(4x + 2) + e9x-1 + ln 12x+ .
Решение.
Данная функция является суммой функций, поэтому сначала применяем правило 2:
.
Каждое из слагаемых – сложная функция, поэтому для их дифференцирования используем формулу (2).
.
.
Чтобы найти производную , запишем функцию в виде: = .
Тогда:
Окончательно получим:
Пример 3.
Найти производную функции y = .
Решение.
Преобразуем функцию к виду:
.
Далее воспользуемся правилами дифференцирования 1 и 2:
Функцию будем рассматривать как сложную функцию с промежуточным аргументом .
По формуле (2):
Функция представляет собой сложную функцию с промежуточным аргументом .
По формуле (2):
Окончательно получим:
Пример 4.
Найти производную функции
y =
Решение.
Пользуясь правилом 2, запишем:
Каждое из слагаемых представляет собой сложную функцию, причем «дважды» сложную. Рассмотрим подробно первое слагаемое, функцию . Она представляет собой сложную степенную функцию =( )3 с промежуточным аргументом .
По формуле (2): .
Но промежуточный аргумент u, в свою очередь, тоже является функциейнезависимой переменной х: . Поэтому:
.
Окончательно можно записать:
Поизводные остальных слагаемых найдем без подробных пояснений.
Окончательный ответ:
= +
Пример 5.
Найти производную функции y = tg6(4x – 2)·arcsin.
Решение.
Данная функция представляет собой произведение функций, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом 3:
.
Находим производные каждого из множителей, пользуясь формулой (2) для дифференцирования сложных функций.
Окончательный ответ:
Пример 6.
Найти производную функции y = ln sin 3x·arccos e3x.
Решение.
Функция является произведением двух функций, поэтому применяем правило 3.
.
Находим производные по формуле (2), т.к. функции являются сложными.
Искомая производная:
Пример 7.
Найти производную функции .
Решение.
По правилу (4) для дифференцирования частного функций:
Находим производные числителя и знаменателя данной функции:
Окончательный ответ:
Пример 8.
Найти производную функции
Решение.
Функция представляет собой частное функций, поэтому для ее дифференцирования будем пользоваться правилом 4:
.
Поскольку и числитель, и знаменатель являются сложными функциями, то для из дифференцирования необходимо использовать формулу (2):
Окончательно записываем:
Пример 9.
Найти производную функции .
Решение.
По правилу (4) для дифференцирования частного функций:
,
.
Окончательно получим:
Пример 10.
Найти производную функции .
Решение.
Применяем правило 4:
Числитель представляет собой произведение двух сложных функций, поэтому для нахождения производной числителя используем правило 3 и формулу (2):
Знаменатель также сложная функция, для нахождения производной снова применяем формулу (2):
Окончательно получим:
=
Пример 11. .
Решение.
Преобразуем данную функцию к виду:
.
Функция является сложной: внешняя функция - степенная, внутренняя – частное двух линейных функций. Для нахождения производной будем пользоваться формулой (2) и правилом дифференцирования 3:
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Логарифмической производной функции y = называется производная от логарифма этой функции, т.е. . Пусть f(x)>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле (2) для производной сложной функции
откуда
f΄(x)=f(x)(ln f(x))΄ . (3)
Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием, а формулу (3) – формулой логарифмического дифференцирования.
Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма функции найти проще, чем производную самой функции. Например, при дифференцированиипоказательно-степенной функции y= , где и - дифференцируемые в точке функции. Показательно-степенную функцию можно представить в виде
,
а затем дифференцировать ее как сложную функцию:
Пример 12.
Найти производную функции .
Решение.
Логарифмируя обе части равенства , получим:
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по х:
. (*)
Согласно правилу дифференцирования сложной функциии (формула (2)):
.
Производную левой части равенства найдем, пользуясь правилами дифференцирования произведения функций и сложной функции:
подставляя найденные производные в равенство (*), получим:
,
откуда окончательно имеем
Кроме того, метод логарифмического дифференцирования можно применять для нахождения производных дробно-иррациональных функций.
Пример 13.
Найти производную функции .
Решение.
Производная этой функции была найдена в примере 11 путем непосредственного применения правил дифференцирования. Покажем, что использование метода логарифмического дифференцирования позволяет избежать громоздких вычислений.
Перепишем функцию в виде и
прологарифмируем обе части этого равенства:
.
Пользуясь формулами для логарифма частного и степени правую часть равенства можно преобразовать:
.
Следовательно
.
Далее продифференцируем обе части полученного равенства: