Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

 

Пусть функция y = определена в точке x и ее окрестности. Пусть аргумент x получил приращение . Тогда функция y = получит приращение .

Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Таким образом,

. (1)

Производная функции y = обозначается как y¢, , или .

В общем случае для каждого значения х производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от х.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Если функция y = имеет производную в точке , т.е., если существует

то говорят, что в этой точке функция y = дифференцируема.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a, b] или интервала (a, b), то говорят, что она дифферцируема на отрезке [a, b] или, соответственно, в интервале (a, b).

Выражения «функция дифференцируема» и «функция имеет производную» означают одно и то же.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

В таблице приведены производные основных элементарных функций.

1. ( ) 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Пусть С – постоянная, и - дифференцируемые функции.

Правило 1. (С f (x))¢ = С f ¢ (x).

Правило 2. .

 

Правило 3. .

Правило 4. ,

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть функция u = j(x) имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке u(x). Тогда сложная функция имеет производную в точке x, найти которую можно по формуле

. (2)

Функцию называют внешней функцией, а функцию u(x)внутренней функцией или промежуточным аргументом.

Пример 1.

Найти производную функции .

Решение.

Преобразуем данную функцию к виду

.

Используя правила дифференцирования 1 и 2, а также таблицу производных (пункт 4), получим:

Пример 2.

а) Найти производную функции y = .

Решение.

Данная функция является сложной функцией с промежуточным аргументом .

Тогда по формуле (2) можем записать:

.

Так как , а , то окончательно получаем:

Можно обойтись и без подробных записей:

Нижний индекс показывает, по какому аргументу ведется дифференцирование. Далее будет часто использоваться именно такая форма записи.

б)y = cos(4x + 2) + e9x-1 + ln 12x+ .

Решение.

Данная функция является суммой функций, поэтому сначала применяем правило 2:

.

Каждое из слагаемых – сложная функция, поэтому для их дифференцирования используем формулу (2).

.

 

.

Чтобы найти производную , запишем функцию в виде: = .

Тогда:

Окончательно получим:

Пример 3.

Найти производную функции y = .

Решение.

Преобразуем функцию к виду:

.

Далее воспользуемся правилами дифференцирования 1 и 2:

Функцию будем рассматривать как сложную функцию с промежуточным аргументом .

По формуле (2):

Функция представляет собой сложную функцию с промежуточным аргументом .

По формуле (2):

Окончательно получим:

Пример 4.

Найти производную функции

y =

Решение.

Пользуясь правилом 2, запишем:

Каждое из слагаемых представляет собой сложную функцию, причем «дважды» сложную. Рассмотрим подробно первое слагаемое, функцию . Она представляет собой сложную степенную функцию =( )3 с промежуточным аргументом .

По формуле (2): .

Но промежуточный аргумент u, в свою очередь, тоже является функциейнезависимой переменной х: . Поэтому:

.

Окончательно можно записать:

Поизводные остальных слагаемых найдем без подробных пояснений.

Окончательный ответ:

= +

Пример 5.

Найти производную функции y = tg6(4x – 2)·arcsin .

Решение.

Данная функция представляет собой произведение функций, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом 3:

.

Находим производные каждого из множителей, пользуясь формулой (2) для дифференцирования сложных функций.

Окончательный ответ:


Пример 6.

Найти производную функции y = ln sin 3x·arccos e3x.

Решение.

Функция является произведением двух функций, поэтому применяем правило 3.

.

Находим производные по формуле (2), т.к. функции являются сложными.

Искомая производная:

Пример 7.

Найти производную функции .

Решение.

По правилу (4) для дифференцирования частного функций:

Находим производные числителя и знаменателя данной функции:

Окончательный ответ:

Пример 8.

Найти производную функции

Решение.

Функция представляет собой частное функций, поэтому для ее дифференцирования будем пользоваться правилом 4:

.

Поскольку и числитель, и знаменатель являются сложными функциями, то для из дифференцирования необходимо использовать формулу (2):

Окончательно записываем:

Пример 9.

Найти производную функции .

Решение.

По правилу (4) для дифференцирования частного функций:

,

.

Окончательно получим:

Пример 10.

Найти производную функции .

Решение.

Применяем правило 4:

Числитель представляет собой произведение двух сложных функций, поэтому для нахождения производной числителя используем правило 3 и формулу (2):

Знаменатель также сложная функция, для нахождения производной снова применяем формулу (2):

Окончательно получим:

=

Пример 11. .

Решение.

Преобразуем данную функцию к виду:

.

Функция является сложной: внешняя функция - степенная, внутренняя – частное двух линейных функций. Для нахождения производной будем пользоваться формулой (2) и правилом дифференцирования 3:

 

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

 

Логарифмической производной функции y = называется производная от логарифма этой функции, т.е. . Пусть f(x)>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле (2) для производной сложной функции

откуда

(x)=f(x)(ln f(x))΄ . (3)

 

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием, а формулу (3) – формулой логарифмического дифференцирования.

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма функции найти проще, чем производную самой функции. Например, при дифференцированиипоказательно-степенной функции y= , где и - дифференцируемые в точке функции. Показательно-степенную функцию можно представить в виде

,

а затем дифференцировать ее как сложную функцию:

Пример 12.

Найти производную функции .

Решение.

Логарифмируя обе части равенства , получим:

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х:

. (*)

Согласно правилу дифференцирования сложной функциии (формула (2)):

.

Производную левой части равенства найдем, пользуясь правилами дифференцирования произведения функций и сложной функции:

подставляя найденные производные в равенство (*), получим:

,

откуда окончательно имеем

 

Кроме того, метод логарифмического дифференцирования можно применять для нахождения производных дробно-иррациональных функций.

Пример 13.

Найти производную функции .

Решение.

Производная этой функции была найдена в примере 11 путем непосредственного применения правил дифференцирования. Покажем, что использование метода логарифмического дифференцирования позволяет избежать громоздких вычислений.

Перепишем функцию в виде и

прологарифмируем обе части этого равенства:

.

Пользуясь формулами для логарифма частного и степени правую часть равенства можно преобразовать:

.

Следовательно

.

Далее продифференцируем обе части полученного равенства:

,

,

отсюда, с учетом того, что находим:

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.