Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Схема вычисления производной

Производная

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X. Возьмем точку . Дадим значению x приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y = f (x) в точке , то есть .

Тогда уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке имеет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

.

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

 

Зависимость между непрерывностью и
дифференцируемостью функции

Теорема. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема неверна, то есть если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Примером может служить функция y = |x|, непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней «излом». Производная этой функции в точке x = 0 не существует, так как :

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.

 

Схема вычисления производной

Производная функции может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

 

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

1. Дадим аргументу x приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции:

.

3. Составляем отношение .

4. Находим предел

Ответ: .

 

Правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю: .

2. Производная аргумента равна единице: .

3. Производная суммы равна сумме производных этих функций

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна:

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

, где .

6. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

, где .

7. Производная сложной функции равна

.

 

Производные основных элементарных функций:

1. , где ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. при ;

7. ;

8. ;

9. , ;

10. ;

11. ;

12. ;

Пример 2. Вычислить , если .

Решение: Находим производную суммы .

 

Пример 3. Вычислить , если .

Решение: Находим производную произведения .

 

Пример 4. Вычислить , если .

Решение: Находим производную частного .

 

Пример 5. Вычислить , если .

Решение: Находим производную сложной функции .




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.