Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Разложение произвольного линейного оператора



В действительном евклидовом пространстве в произведение

Симметричного и ортогонального

 

Теорема 7.14. Пусть – действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора существуют симметричный и ортогональный операторы такие, что .

►Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор симметричный. Если – собственное значение оператора , а – соответствующий ему собственный вектор, то . С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что . На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для в существует ортонормированный базис

, (7.25)

в котором матрица оператора имеет диагональный вид

,

причем , и не обязательно различные. Обозначим тот линейный оператор, который в базисе (7.25) имеет матрицу

.

Так как , то . Очевидно, оператор – симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (7.25) – это

 

,

она тоже симметрична). Положим

. (7.26)

Учитывая, что [симметрия ] = , делаем вывод, что – ортогональный оператор. Теперь из (7.26) получаем . ◄

Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.

Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.

 

Одновременное приведение к каноническому

Виду пары квадратичных форм

 

Теорема 7.15. Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.

►Пусть, например, квадратичная форма положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис

, (7.27)

в котором форма имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма в этом базисе имеет нормальный вид. ◄

 

Правило приведения пары квадратичных форм

К каноническому виду

 

Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис

, (7.28)

и обозначим и матрицы форм и соответственно в этом базисе. В пространстве скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в существует ортонормированный базис

. (7.29)

Если – матрица Грама базиса (7.28), а – матрица квадратичной формы в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что

.

Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение

(7.30)

а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения решить систему линейных уравнений

, (7.31)

где – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но

{(7.30)} { } { }

{ },

откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению

. (7.32)

Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }

{ } { }. Если – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:

. (7.33)

Таким образом, диагональные элементы матрицы – это корни уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .

Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:

1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .

2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .

3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .

4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .

Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы

и .

▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:

, .

Исследуем на знакоопределенность форму по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,

, .

2.

.

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

Канонический вид квадратичной формы , а формы .

3.

:

4.

5. ;

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.