В действительном евклидовом пространстве в произведение
Симметричного и ортогонального
Теорема 7.14. Пусть – действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора существуют симметричный и ортогональный операторы такие, что .
►Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор симметричный. Если – собственное значение оператора , а – соответствующий ему собственный вектор, то . С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что . На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для в существует ортонормированный базис
, (7.25)
в котором матрица оператора имеет диагональный вид
,
причем , и не обязательно различные. Обозначим тот линейный оператор, который в базисе (7.25) имеет матрицу
.
Так как , то . Очевидно, оператор – симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (7.25) – это
,
она тоже симметрична). Положим
. (7.26)
Учитывая, что [симметрия ] = , делаем вывод, что – ортогональный оператор. Теперь из (7.26) получаем . ◄
Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.
Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.
Одновременное приведение к каноническому
Виду пары квадратичных форм
Теорема 7.15. Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.
►Пусть, например, квадратичная форма положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис
, (7.27)
в котором форма имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма в этом базисе имеет нормальный вид. ◄
Правило приведения пары квадратичных форм
К каноническому виду
Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис
, (7.28)
и обозначим и матрицы форм и соответственно в этом базисе. В пространстве скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в существует ортонормированный базис
. (7.29)
Если – матрица Грама базиса (7.28), а – матрица квадратичной формы в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что
.
Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение
(7.30)
а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения решить систему линейных уравнений
, (7.31)
где – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но
{(7.30)} { } { }
{ },
откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению
. (7.32)
Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }
{ } { }. Если – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:
. (7.33)
Таким образом, диагональные элементы матрицы – это корни уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .
Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:
1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .
2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .
3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .
4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).
5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .
Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы
и .
▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:
, .
Исследуем на знакоопределенность форму по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,
, .
2.
.
Записываем характеристическое уравнение и находим его корни: