Сопряженный линейный оператор

ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Некоторые сведения о матрицах

Ортогональные и унитарные матрицы

Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n-го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

►Из определения следует: , значит, .◄

2. .

В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.

Определение. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n-го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. .

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. .

Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.

Свойства ортогональных и унитарных матриц

1º. . 1'. .

2º. . 2'. .

3º. . 3'. .

►Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).

.◄

Теорема 7.1 о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве заданы: ортонормированный базис

(7.1)

и ещё какой-либо базис

. (7.2)

Для того чтобы базис (7.2) был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (7.1) к (7.2) была унитарной для комплексного евклидова пространства, и ортогональной для действительного.

►Доказательство проводим для комплексного случая. Если и – матрицы Грама базисов (7.1) и (7.2) соответственно, то и . Тогда

{(7.2) – ортонормированный} .◄

Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц

Вспомним, что комплексная квадратная матрица А называется эрмитовой, если , а действительная квадратная матрица А – симметричной, если . Будем обозначать – множество всех эрмитовых матриц n-го порядка, а – множество всех действительных симметричных матриц n-го порядка. Очевидно, . Запишем некоторые свойства этих матриц, которые вы можете легко доказать в качестве упражнения.

1º. . 1'. .

2º . 2'. .

3º. . 3'. .

Сопряженный линейный оператор

Лемма. 7.1.Пусть и – линейные операторы. Если для всех векторов евклидова пространства выполняется одно из условий или , то .

►

(объясните каждый шаг в цепочке рассуждений). Второе утверждение доказывается аналогично.◄

Определение. Линейный оператор называется сопряженным линейному оператору , если

.

Теорема 7.2.Для любого линейного оператора существует единственный сопряженный ему оператор . При этом если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

►Доказываем теорему так же, как в свое время доказывали аналогичную теорему для обратного линейного оператора. Все доказательства проводим для комплексного пространства. Для действительного доказательство изменится только тем, что не будет комплексного сопряжения.

Единственность. Предположим, что некоторый линейный оператор имеет два сопряженных: и . Так как

и ,

то на основании доказанной леммы 7.1 = .

Существование. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

(7.3)

и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Значит, существует линейный оператор , матрица которого в базисе (7.3) совпадает с матрицей . Выберем теперь произвольные векторы и обозначим и соответственно их координатные столбцы в базисе (7.3). В том же базисе координатные столбцы векторов и совпадают соответственно со столбцами и . На основании правила вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе получаем

.

Таким образом, = на основании леммы 7.1.◄

Упражнение. Пусть оператор в двух базисах пространства имеет матрицы и соответственно. Докажите: если матрица линейного оператора в первом из этих базисов совпадает с , то во втором матрица этого оператора совпадает с .

Поиск по сайту: