Примеры исследования функций с помощью производных и построение графиков

Пример 1.Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1) Функция у = определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥) .

2) x=1 – точка разрыва функции.

Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:

f (x) = = +¥,

f (x) = = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.

= = =+¥;

= = =–¥.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты:

k= = = = = 1, т.е. k =1;

b = ( f (x)– kx ) = = = = = = = = = =2,

т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.

Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.

5) Найдем производную функции: y' = =

= = = .

Приравнивая y' к нулю, получим x³–3x²=0, откуда имеем критические точки x₁=0, x₂=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 и х=1.

Определим знаки y' = в указанных интервалах.

Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) = = = 6,75.

6) Найдем вторую производную:

y''= = = = =

= = , y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)⁴>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.

Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.

Результаты наших исследований объединим в таблицу.

Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения: .

2. Пусть , тогда y=0.Пусть y=0, тогда - решить уравнение точно не удается.

Найдена точка пересечения графика с осями координат.

3. – функция нечетная.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты.

.

,

.

.

- асимптота при , - асимптота при

.

6. ; при .

, если , откуда и - критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

+ - +

-1 1

На интервалах и функция возрастает, а на интервале – убывает.

,

7. ; , если , откуда - критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

- +

На интервале график выпуклый, а на интервале - выгнутый. - точка перегиба.

8. , .

Поиск по сайту: