Если e - некоторое положительное число, то множество
Oe(X0)={XÎRп|r(X, X0)<e}
называется e-окрестностью точки X0.
Так, в пространстве R1e-окрестность точки X0, имеющей координату a - это интервал (a-e; a+e); в пространстве R2e-окрестность точки X0, имеющей координаты (x0, y0), - это внутренность круга радиуса e с центром (x0, y0); наконец, в пространстве R3e-окрестность точки X0, имеющей координаты (x0, y0, z0), - это внутренность шара радиуса e с центром (x0, y0, z0).
Множество {XÎRп|r(X, X0)£r} называется шаром с центром в точке X0 и радиусом r.
В пространстве R1 шар с центром в точке X0, имеющим координату a, и радиуса r - это отрезок [a-r; a+r]; в пространстве R2 шар с центром в точке X0, имеющим координаты (x0, y0), - это круг радиуса r с центром (x0, y0); наконец, в пространстве R3 шар с центром в точке X0, имеющим координаты (x0, y0, z0), - это внутренность обычный геометрический шар радиуса r с центром (x0, y0, z0).
Точка X0 называется внутреннейточкой множества MÍRп, если она входит в M вместе с некоторой своей e-окрестностью Oe(X0): Oe(X0)ÍRп.
Точка X0 называется граничнойточкой множества MÍRп, если каждая окрестность точки X0 содержит как точки из множества M, так и точки, не принадлежащие множеству M.
Множество всех граничных точек множества M называют границей этого множества.
Так, в пространстве R1 все точки интервала (a, b) являются внутренними точками отрезка [a, b], а концы отрезка являются граничными точками, и граница состоит из двух точек. В пространстве R2 граница полуплоскости {(x, y)| Ax+By+C³0} состоит из прямой Ax+By+C=0.
Множество MÍRп называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Если все точки множества являются внутренними, то оно называется открытым.
Например, в R1 любой отрезок является замкнутым, а любой интервал - открытым. Также, шар Sr={(x, y, z)| x2+y2+z2£r} в R3 является замкнутым множеством, а внутренность Or(O)={(x, y, z)| x2+y2+z2<r} шара Sr - открытым.
Введём следующие обозначения: если aÎR, X=(x1, x2, …, xn), Y=(y1, y2, …, yn), то aX=(ax1, ax2, …, axn) и X+Y=(x1, x2, …, xn)+(y1, y2, …, yn)=(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn).
Если X=(x1, x2, …, xn), Y=(y1, y2, …, yn) - две точки из Rп, то множество всех точек Z=(z1, z2, …, zn), таких, что
называется отрезком. При этом X и Y называются концами отрезка, а сам отрезок обозначается через [XY]. Таким образом,
[XY]={ZÎRп| Z=aX+(1-a)Y, 0£a£1}
Множество MÍRп называется выпуклым, если для любых двух точек из M множеству M принадлежат и все точки отрезка с концами в этих точках. Другими словами, M выпуклое в Rп множество, если для любых X и Y из M, любого числа a такого, что 0£a£1, имеет место включение aX+(1-a)YÎM.
Таким образом, выпуклая оболочка точек является выпуклым множеством.
Множество называется ограниченным, если можно построить шар с конечным радиусом и центром в любой точке множества, содержащее данное множество. Угловойточкой множества называется точка, которая не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо различных точек этого множества.
Конечным многогранником в п-мерном пространстве называется ограниченное множество с конечным числом угловых точек, каждая точка которой является линейной комбинацией угловых.
Таким образом, из 2.2.1 и 2.2.2 вытекает
2.2.3.Множество решений смешанной линейной системы вRпобразует выпуклое множество.
В случае, когда это множество конечное, оно является конечным многогранником. В случае, когда это множество M бесконечное, оно обладает следующими свойствами:
1о. МножествоMимеет конечное число угловых точек.
2о. МножествоMявляется замкнутым, границы которого являются гиперплоскостями вRп-kдля некоторогоk.
Такое множество назовём многогранником в Rп. Таким образом,
2.2.4.Множество решений (смешанной) линейной системы с n неизвестными образует многогранник, который в случае системы линейных неравенств являетсяп-мерным.
Последовательности
Последовательностью точек в Rп называется функция f: N®Rп множества N натуральных чисел в некоторое множество точек из Rп. При этом если f(k)=Xk, то Xk называется k-м членом последовательности и говорят, что последовательность состоит из точек Xk. Последовательность, состоящая из точек Xk, обозначается через {Xk}. Если {Xk} - последовательность в R1, то это - числовая последовательность.
Пределомпоследовательности {Xk} точек в Rп называется точка X0, каждая e-окрестность которой содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Другими словами, точка X0 называется пределом последовательности {Xk}, если для любого e>0 существует k0ÎN такое, что r(Xk, X0)<e для всех k>k0.
Если X0 является пределом последовательности {Xk}, то пишут X0= или Xk®X0 при k® .
2.3.1.ТочкаX0=( , , …, ) является пределом последовательности {Xk}, Xk=( , , …, ) тогда и только тогда, когда = , = , …, = .
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
Упражнения.
2.4.1. Даны точки X, Y, Z евклидова пространства R4. Найти расстояние между ними и убедиться, что для этих точек выполнено неравенство треугольника: