Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Множества в евклидовом пространстве



Если e - некоторое положительное число, то множество

Oe(X0)={XÎRп|r(X, X0)<e}

называется e-окрестностью точки X0.

Так, в пространстве R1 e-окрестность точки X0, имеющей координату a - это интервал (a-e; a+e); в пространстве R2 e-окрестность точки X0, имеющей координаты (x0, y0), - это внутренность круга радиуса e с центром (x0, y0); наконец, в пространстве R3 e-окрестность точки X0, имеющей координаты (x0, y0, z0), - это внутренность шара радиуса e с центром (x0, y0, z0).

Множество {XÎRп|r(X, X0r} называется шаром с центром в точке X0 и радиусом r.

В пространстве R1 шар с центром в точке X0, имеющим координату a, и радиуса r - это отрезок [a-r; a+r]; в пространстве R2 шар с центром в точке X0, имеющим координаты (x0, y0), - это круг радиуса r с центром (x0, y0); наконец, в пространстве R3 шар с центром в точке X0, имеющим координаты (x0, y0, z0), - это внутренность обычный геометрический шар радиуса r с центром (x0, y0, z0).

Точка X0 называется внутреннейточкой множества MÍRп, если она входит в M вместе с некоторой своей e-окрестностью Oe(X0): Oe(X0Rп.

Точка X0 называется граничнойточкой множества MÍRп, если каждая окрестность точки X0 содержит как точки из множества M, так и точки, не принадлежащие множеству M.

Множество всех граничных точек множества M называют границей этого множества.

Так, в пространстве R1 все точки интервала (a, b) являются внутренними точками отрезка [a, b], а концы отрезка являются граничными точками, и граница состоит из двух точек. В пространстве R2 граница полуплоскости {(x, y)| Ax+By+C³0} состоит из прямой Ax+By+C=0.

Множество MÍRп называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Если все точки множества являются внутренними, то оно называется открытым.

Например, в R1 любой отрезок является замкнутым, а любой интервал - открытым. Также, шар Sr={(x, y, z)| x2+y2+z2£r} в R3 является замкнутым множеством, а внутренность Or(O)={(x, y, z)| x2+y2+z2<r} шара Sr - открытым.

Введём следующие обозначения: если aÎR, X=(x1, x2, …, xn), Y=(y1, y2, …, yn), то aX=(ax1, ax2, …, axn) и X+Y=(x1, x2, …, xn)+(y1, y2, …, yn)=(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn).

Если X=(x1, x2, …, xn), Y=(y1, y2, …, yn) - две точки из Rп, то множество всех точек Z=(z1, z2, …, zn), таких, что

z1=ax1+(1-a)y1, z2=ax2+(1-a)y2, …, zn=axn+(1-a)yn, 0£a£1,

называется отрезком. При этом X и Y называются концами отрезка, а сам отрезок обозначается через [XY]. Таким образом,

[XY]={ZÎRп| Z=aX+(1-a)Y, 0£a£1}

Множество MÍRп называется выпуклым, если для любых двух точек из M множеству M принадлежат и все точки отрезка с концами в этих точках. Другими словами, M выпуклое в Rп множество, если для любых X и Y из M, любого числа a такого, что 0£a£1, имеет место включение aX+(1-a)YÎM.

Например,

2.2.1. Выпуклыми являются следующие множества:

1) {(x1, x2, …, xnRп | a1x1+a2x2+…+anxn=b} - гиперплоскость в Rп.

2) {(x1, x2, …, xnRп | a1x1+a2x2+…+anxn£b} - полупространство в Rп.

Действительно, если точки X=(x1, x2, …, xn) и Y=(y1, y2, …, yn) удовлетворяют уравнению a1x1+a2x2+…+anxn=b гиперплоскости, то имеем

a1(ax1+(1-a)y1)+a2(ax2+(1-a)y2)+…+an(axn+(1-a)yn)=

=a(a1x1+a2x2+…+anxn)+(1-a)(a1y1+a2y2+…+anyn)=ab+(1-a)b=b,

то есть координаты произвольной точки Z=(ax1+(1-a)y1, ax2+(1-a)y2, …, axn+(1-a)yn) отрезка [XY] удовлетворяют уравнению гиперплоскости.

Аналогично доказывается, что полупространство в Rп является выпуклым.

2.2.2.Выпуклые множества обладают следующими свойствами:

1о. Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым.

2о. Если точки X1, X2, …, Xk принадлежат выпуклому множеству M и P=l1X1+l2X2+…+lkXk, l1³0, l2³0, …, lk³0, l1+l2+…+lk=1, то PÎM.

Выпуклой оболочкой точекX1, X2, …, Xk называется множество

{P| P=l1X1+l2X2+…+lkXk, l1³0, l2³0, …, lk³0, l1+l2+…+lk=1}.

Таким образом, выпуклая оболочка точек является выпуклым множеством.

Множество называется ограниченным, если можно построить шар с конечным радиусом и центром в любой точке множества, содержащее данное множество. Угловойточкой множества называется точка, которая не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо различных точек этого множества.

Конечным многогранником в п-мерном пространстве называется ограниченное множество с конечным числом угловых точек, каждая точка которой является линейной комбинацией угловых.

Таким образом, из 2.2.1 и 2.2.2 вытекает

2.2.3. Множество решений смешанной линейной системы в Rп образует выпуклое множество.

В случае, когда это множество конечное, оно является конечным многогранником. В случае, когда это множество M бесконечное, оно обладает следующими свойствами:

1о. Множество M имеет конечное число угловых точек.

2о. Множество M является замкнутым, границы которого являются гиперплоскостями в Rп-k для некоторого k.

Такое множество назовём многогранником в Rп. Таким образом,

2.2.4. Множество решений (смешанной) линейной системы с n неизвестными образует многогранник, который в случае системы линейных неравенств является п-мерным.


Последовательности

Последовательностью точек в Rп называется функция f: N®Rп множества N натуральных чисел в некоторое множество точек из Rп. При этом если f(k)=Xk, то Xk называется k-м членом последовательности и говорят, что последовательность состоит из точек Xk. Последовательность, состоящая из точек Xk, обозначается через {Xk}. Если {Xk} - последовательность в R1, то это - числовая последовательность.

Пределомпоследовательности {Xk} точек в Rп называется точка X0, каждая e-окрестность которой содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Другими словами, точка X0 называется пределом последовательности {Xk}, если для любого e>0 существует k0ÎN такое, что r(Xk, X0)<e для всех k>k0.

Если X0 является пределом последовательности {Xk}, то пишут X0= или Xk®X0 при k® .

2.3.1. Точка X0=( , , …, ) является пределом последовательности {Xk}, Xk=( , , …, ) тогда и только тогда, когда = , = , …, = .

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.

Упражнения.

2.4.1. Даны точки X, Y, Z евклидова пространства R4. Найти расстояние между ними и убедиться, что для этих точек выполнено неравенство треугольника:

а) X=(3; -1; 2; 4), Y=(2; -2; 1; 3), Z=(4; 4; 0; 1);

б) X=(1; 2; -1; 3), Y=(3; -2; 1; -4), Z=(2; 2; -1; -5);

в) X=(4; -2; 3; -4), Y=(-2; -3; -1; 5), Z=(-4; 4; 2; -1).

Решение. а) Имеем

r(X, Y)= = =2,

r(X, Z)= = = ,

r(Y, Z)= = = .

Далее, убедимся, что неравенство треугольника выполнено:

r(X, Y)=2< + =r(X, Z)+r(Y, Z)=r(X, Z)+r(Z, Y)

то есть r(X, Yr(X, Z)+r(Z, Y).

r(X, Z)= <2+ =r(X, Y)+r(Y, Z)=r(X, Z)+r(Z, Y)

то есть r(X, Zr(X, Y)+r(Y, Z).

r(Y, Z)= < =7=2+5=2+ <2+ =r(X, Y)+r(X, Z)=r(Y, X)+r(X, Z)

то есть r(Y, Zr(Y, X)+r(X, Z).

Ответ. r(X, Y)=2, r(X, Z)= , r(Y, Z)= .

2.4.2. Доказать выпуклость следующих множеств:

а) полупространстово в Rп;

б) {XÎRn|AX£B, A=(aij)m×n, BÎRm};

в) {(x1, x2R2| x1x2≥1, x1>0, x2>0}.

2.4.3. Доказать свойства 2.2.2 выпуклых множеств.

2.4.4. Будет ли выпуклым множество последовательностей {Xk} таких, что =1?

§3. Функции в Rп

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.