Задача 19. Дана независимая случайная величина Х – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х.
Решение. Случайная величина Х принимает значение m с вероятностью P2(m) = (формула Бернулли), где m = 0,1,2 и p = 0,5. Таблицей распределения этой случайной величины является
Задача 20. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.
Решение. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятность каждого появления и не появления события: D(X) = npq. По условию, n = 5, p= 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Искомая дисперсия равна: D(X) = 5 · 0,2 · 0,8 = 0,8.
Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события (где значение непрерывной случайной величины, а произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от , называется функцией распределения вероятности:
.
Производная от функции распределения называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
.
Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
.
Числовые характеристики
Непрерывной случайной величины.
Определение. Cсредним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла
где – плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла
Для определения дисперсии также может быть использована формула
Задача 23.Случайная величина задана плотностью вероятностей
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины Х.