Определение 8. Произведением двух событий и называется событие, означающее совместное появление этих событий.
Если при нахождении вероятности не имеется никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий, то такая вероятность называется безусловной. В противном случае она называется условной.
Определение 9. Вероятность события в предположении о наличии события называют условной и обозначают как
Рассмотрим пример, поясняющий это определение.
Пример 5. В ящике находится 11 деталей, из них 3 – нестандартные. Из ящика дважды безвозвратно берут по одной детали. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена стандартная деталь( событие B), если в первый раз была извлечена нестандартная деталь( событие A)
Решение. После первого извлечения в ящике из 10 деталей останется 8 стандартных, поэтому .
Пусть известны вероятность и условная вероятность события . Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой
.
Пример 6. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а второй раз стандартная, и наоборот.
Решение. Пусть – событие, означающее, извлечение из ящика нестандартной детали, а событие – стандартной. Тогда возможны два случая.1) Вероятность , а условная вероятность . Искомая вероятность
.
2) Вероятность , а условная вероятность . Искомая вероятность
.
Теорема 3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий :
.,
Т.е. вероятность совместного появления n событий равна произведению n вероятностей, где условные вероятности событий в предположении, что события уже произошли.
Пример 7. В урне находится 4 белых шара, 5 красных 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар(событие A), во второй раз –красный(событие B), третий– синий(событие C)
Решение. Вероятность появления белого шара в первый раз (событие A) ; условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара . Условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условии появления в предыдущих случаях белого и красного шаров Искомая вероятность определяется при :
.
§2. Независимые события.
Определение 10. Событие называется независимым от события , если его появление не влияет на вероятность события ):
.
Отсюда следует, что . Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид:
.
Пример 8. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0.9, 0.8 и 0.7.
Решение. Введем события. Событие, состоящее в поражения цели первым орудием обозначим через , – вторым орудием и – третьим. Поскольку эти события независимы, по теореме умножения при получим:
.
Иногда требуется найти вероятность проявления хотя бы одного события любого числа событий . Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема 4. Вероятность появления хотя бы одного события любого числа событий определяется формулой
,
Где вероятности соответствующих противоположных событий.
Пример 9. В условиях примера 1 найти вероятность поражения( или хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе.
§3. Обобщенные теоремы сложения и произведений
вероятностей совместных событий:
3.1. Вероятность появления хотя бы одного из событий
Рассмотрим примеры совместного использования теорем сложения и умножения. Пусть даны два независимых события и с вероятностями
и . Найдем вероятность появления только одного из них. Введем события и : событие наступило, а событие не наступило: . Аналогично определим и событие . Поскольку события и независимы, несовместны и события и , откуда следует:
События и называют совместными, если в одном и том же испытании при появлении одного из них не исключено появление другого. Для таких событий справедлива следующая теорема:
Теорема 5. Вероятность суммы совместных событий определяется по формуле
;
1. для независимых событий
;
2. для зависимых:
;
3. независимых
.
3.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть события несовместны и образуют полную группу
.
Допустим, что события может наступить при условии появления одного из событий при известных и . Тогда вероятность события
Пример 10 . В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой 4 белых и 5 красных, во второй 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну.
Решение. Перекладывание из второй урны в первую белого шара( событие ) и красного шара( событие ) образуют полную группу событий. Их вероятности и . Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара(событие ) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны и . Тогда по формуле полной вероятности получим:
.
Приведем теперь формулу Байеса. Пусть события несовместны и образуют полную группу
.
Допустим, что событие может наступить при условии появления одного из них. События называют гипотезами, поскольку неизвестно, какое из них наступит. Тогда условные вероятности гипотез находят по формуле:
Пример 11. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0.08. После изготовления все изделия подвергаются проверке: изделия без брака признаются годными с вероятностью 0.95, а изделия с браком с вероятностью 0.06.Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а также вероятность того, что выпущенное изделие окажется без брака.
Решение. Введем гипотезы: изделие без брака; изделие с браком. Тогда событием будет признание изделия годным. . Тогда по формуле полной вероятности получим:
.
Для ответа на второй вопрос воспользуемся формулой