Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

РАЗДЕЛ II. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ



ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

 


Учебно-методическое пособие для студентов

очного и заочного отделений бакалавриата

по специальности «Экономика».

Якутск 2011 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Введение.

РАЗДЕЛ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Некоторые формулы комбинаторики.

§2. Виды случайных событий.

§3. Классическое определение вероятности.

РАЗДЕЛ II. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§1. Несовместные события.

§2. Полная группа событий.

§3. Противоположные события.

РАЗДЕЛ III. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§1. Произведение событий и условная вероятность.

§2. Независимые события.

§3. Обобщенные теоремы сложения и произведений вероятностей совместных событий:

3.1 Появление только одного из независимых событий.

3.2. Теорема сложения вероятностей совместных событий

3.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

РАЗДЕЛ IV. СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.

§1. Формула Бернулли.

§2. Интегральная теорема Лапласа.

РАЗДЕЛ V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

§1. Случайные величины и законы их распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.

РАЗДЕЛ Vi. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

§1. Функция распределения, плотность распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Литература

 

Приложения.

1. Задания.

2. Методические указания по выполнению контрольных работ

Введение.

Современная концепция высшего экономического образования ориентирована на тенденцию дальнейшего расширения применения математических методов в различные отрасли экономических дисциплин.

Несмотря на то, что имеется ряд признанных сборников задач по высшей математике для экономических специальностей, в настоящее время возникает потребность в разработке и составлении практикумов по отдельным разделам высшей математики, имеющим расширенное практическое применение, как для решения экономических задач, так и различных научно-технических задач. Это обусловлено тем, что математика представляет универсальный язык для описания законов, отражающих окружающий нас многообразный мир.

Цикл математических дисциплин и практически весь аппарат прикладной математики широко используется в современной экономике. В качестве примера можно указать эконометрику, теорию вероятности.

При составлении настоящего практикума основное внимание уделено тому, чтобы при работе с ним закреплялись навыки по применению теории вероятностей и ее математического аппарата для решения практических задач.

Поэтому для рассмотренных в указаниях разделах математики приводятся необходимые понятия и разобраны решения примеров

 

 

 

РАЗДЕЛ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Некоторые формулы комбинаторики.

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы, из которых можно составить определенные комбинации. Их количество изучает комбинаторика.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности различных элементов и различающиеся только порядком расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от 1 до :

.

Комбинации, содержащие по элементов из различных и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

.

Справедливы формулы

, ,

Где число возможных размещений( комбинаций по элементов из элементов и отличающиеся друг от друга либо элементами, либо порядком) .

§2. Виды случайных событий.

В теории вероятностей вместо «совокупности условий» используют термин «испытание». Тогда событие трактуется как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел это–испытание, попадание в мишень–событие.

Определение 3. События называют несовместными, Если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.

Например, выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление при этом же испытании решки и наоборот.

Определение 4. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

Например, при стрельбе по мишени(испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах,; эти два события образуют полную группу.

§3. Классическое определение вероятности.

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием или исходом. Те элементарные исходы, которые интересуют нас, называются благоприятными.

Определение 5. Отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных, образующих общую полную группу, называется вероятностью события .

Вероятность события обозначается .

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число:

.

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятности.

Пример 1.Какова вероятность того, что при заполнении спортивной лотереи «6 из 36» будет угадан 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных

. Отсюда искомая вероятность равна .

 

Пример 2. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных определяется как произведение . Отсюда искомая вероятность равна .

РАЗДЕЛ II. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

§1. Несовместные события.

Определение 6. Суммой двух событий и называют событие , которое состоит в появлении либо события , либо события , либо событий и одновременно.

Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события и –попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда –попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из них.

Справедливо утверждение (Теорема сложения):

Теорема 1. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Следствие. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Пример 3.Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области равны соответственно 0.4, 0.3, 0.2 и 0.1.

Решение. Введем события: – попадание в первую зону; – во вторую. Эти события несовместны, поэтому

.

§2. Полная группа событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 4.На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Пусть – событие, означающее, что выданное изделие нестандартно. Тогда – означает событие, что выданная деталь стандартна. Эти события образуют полную группу, поэтому .

§3. Противоположные события.

Определение 7. Два единственно возможных события, образующие полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через , то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы следует, что .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.