Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C – постоянное число и f=f(x), g=g(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Наименование операции	Обозначение функции
Производная от суммы	или
Производная от разности	или
Производная от произведения	или
Производная от частного	или

Если функция задана параметрически:

, то .

Дифференцирование сложной функции

.

Пример.

Найти производную функции .

По правилу дифференцирования сложной функции:

.

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

,

,

.

Производная вектор-функции

Свойства производной вектор-функции:

– производная суммы есть сумма производных.

– здесь – дифференцируемая скалярная функция.

– дифференцирование скалярного произведения.

– дифференцирование векторного произведения.

– дифференцирование смешанного произведения.

Физический смысл производной

Ключевые слова: физический смысл производной, среднее ускорение материальной точки, сила и импульс, количество заряда, напряженность и потенциал.

Понятие производной широко используется в физике. Приведем несколько примеров.

Средняя скорость точки выражается формулой .

Мгновенная скорость точки равна .

Среднее ускорение материальной точки выражается формулой .

Мгновенное ускорение точки равно .

Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением .

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: .

В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, проекция напряженности электрического поля и электрический потенциал связаны соотношением .

Мгновенная угловая скорость .

Мгновенное угловое ускорение .

Мощность .

Вторая производная

Вторая производная – это производная от первой производной: .

Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…».

Пример.

Найдем вторую производную от функции .

Для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную:

.

Теперь находим вторую производную:

.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример.

Найти вторую производную функции .

Найдем первую производную:

.

На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :

.

Находим вторую производную:

.

Пример.

Найти производную второго порядка от функции .

Находим первую производную как производную сложной функции:

.

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель - - есть сложной функцией:

.

Пример.

Найти производную функции

Так как производная суммы равна сумме производных, то

.

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

.

Пример.

Найти дифференциал третьего порядка функции .

По формуле

.

Найдем третью производную заданной функции:

.

Тогда

.

Пример.

Найти производную неявно заданной функции

Продифференцируем обе части данного выражения по , учитывая, что функция от и производная от неё берется как от сложной функции.

Выразим из этого равенства

Пример.

Найти производную от функции заданной параметрически

Решение. Найдем производные и

Подставляя найденные значения и в формулу

получим

Пример.

Найти производную функции

Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что

РЕШИТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ.

Задача 1.Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² + t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Задача 2.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² – 4t + 3. Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t.

Задача 3.Точка движется по закону x(t) = t³ + 1. Найти ускорение в момент времени 1,0 c.

Задача 4.Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10^-6sin10⁴ t. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Задача 5.Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² + t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Задача 6. Скорость школьного автобуса массой 5 т возрастает по закону υ_x = 0,1t³ + 0,2t. Определить равнодействующую всех сил, действующих на него в момент времени 2,0 с.

Поиск по сайту: