Геометрический смысл производной

Производная функции

Произво́дная (функции в точке) – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс – нахождение первообразной – интегрирование.

Иллюстрация понятия производной

Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует:

.

Общепринятые обозначения производной функции при значении аргумента x:

.

Геометрический смысл производной

На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x – x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ – C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной – и есть производная в точке x₀.

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана способами:

Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

и т.д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x – независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

.

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

– производная первого порядка x по t при t=t₀, или – вторая производная f по x в точке x₀ и т.д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

Пусть . Тогда:

Таблица производных

Наименование функции	Обозначение функции	Производная функции
Константа
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрические
Обратные тригонометрические

Поиск по сайту: