Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b].

Разобьем [a; b] на n равных частей точками: a = x₀ < x₁ < x₂ <…< x_n–1 < x_n = b.

На каждом элементарном отрезке [x_i; x_{i + 1}] выберем произвольную точку x_i
и обозначим .

Тогда называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b].

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы функции при , стремящемся к нулю.

Обозначение:

Основные свойства:

4. Если a < c < b, то

Методы вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона — Лейбница:

Пример 4.

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно свойствам 1, 2, интеграл запишем в виде:

Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим интегралы:

Следовательно, окончательно имеем

.

2. Метод замены переменной.

Пример 5.

Вычислить интеграл

Решение:

При введении новой переменной у = х² – 3 и определении подынтегральной функции по переменной у пределы интегрирования также будут изменяться.

Найдем пределы интегрирования по переменной у:

– нижний предел;

– верхний предел;

следовательно,

Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим последний интеграл:

И, значит, .

Пример 6.

Вычислить .

Решение:

Введем переменную . Дифференцируя обе части равенства и выражая x²dx, будем иметь:

Найдем пределы интегрирования по переменной у:

Таким образом,

.

Задания для контрольной работы

Вариант № 1

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и ;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(3; –1; 2), B(1; 1; 1), C(–5; 3; 1).

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)
б) г)

IV. Дифференциальное исчисление

4. Найти производные функций

1.

2.

3.

4.

V. Интегральное исчисление

5. Вычислить неопределенный интеграл:

1. ; 2. ;

Вариант № 2

I. Теория определителей

1. Решить систему линейных уравнений:

a) б)

II. Аналитическая геометрия

2. Даны три точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) в декартовой прямоугольной системе координат.

1) Найти:

а) угол между векторами и ;

б) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.

A(1; 8; –3), B(3; 2; 6), C(2; 6; –1)

III. Теория пределов функции

3. Найти указанные пределы функций.

а) в)
б) г)

Поиск по сайту: