Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Особые случаи:

Если векторы и заданы своими координатами: и то скалярное произведение вычисляется по формуле:

Угол между векторами выражается следующим образом:

В координатной форме:

Пример 3.

Найти угол между векторами и , если и

Решение:

Обозначим: .

Ответ:

Векторное произведение векторов

Определение: векторным произведением двух векторов и называется вектор , для которого выполняются следующие условия:

Направление определяется правилом правого буравчика.

Обозначение: .

Свойства:

Допустим:

.

Тогда:

Доказательство:

Решаем систему по методу Крамера:

Таким образом:

, и .

Следствия:

1.

2. .

3. (следствие 2).

4. (следствие 2).

5. .

6. (следствие 2).

7. .

8. .

Общее уравнение плоскости

нормальный вектор к плоскости;

;

– уравнение плоскости общего вида.

Допустим:

или – задание плоскости через определитель третьего порядка.

Особые случаи:

Общее уравнение прямой в пространстве

– уравнение прямой l, проходящей через данные точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂).

2. – уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями:

Пример 1.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(–1;–2;0) и М₂(1;1;2) и перпендикулярной к плоскости p: x + 2y + 2z – 4 = 0.

Решение.

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы лежат в одной плоскости, где – нормальный вектор к плоскости p.

Составим уравнение плоскости, содержащей векторы :

Раскроем определитель третьего порядка:

Ответ: – уравнение плоскости.

Пример 2.

Написать уравнение прямой l, перпендикулярной плоскости p:

, проходящей через точку .

Решение.

1. – нормальный вектор к плоскости p.

2. , где точка М(x, y, z) лежит на искомой прямой l.

Тогда

– уравнение прямой l.

Ответ: .

III. Введение в теорию пределов функций

Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство .

Обозначение: .

Основные свойства пределов:

Функция f(x) называется непрерывнойв данной точке a, если выполняется равенство:

Замечательные пределы:

1. – первый замечательный предел.

2. – второй замечательный предел.

Техника вычисления пределов

Пример 1.

Найти .

Решение.

Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:

.

Ответ: –8.

Пример 2.

Найти

При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:

,

и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0.

Тогда

Ответ: 7.

Пример 3.

Найти .

Решение:

Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель на множители:

и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом

.

Ответ: ¥.

Пример 4.

Найти: .

Решение:

При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда

Поскольку , то .

Ответ: 2.

Пример 5.

Найти:

Решение.

Непосредственно подстановкой имеем неопределенность . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби:

. Тогда

Ответ: 4.

Пример 6.

Найти: .

Решение:

Найдем пределы, используя первый замечательный предел

Таким образом: .

Замечание:

, так как если , то .

Значит .

Ответ:

Пример 7.

Найти: .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду ,
и используем второй замечательный предел .

Если , то . Значит:

Ответ: .

Рассмотрим теперь методику раскрытия неопределенностей вида 1^¥ в точке, как всегда на конкретных примерах.

ПРИМЕР 8.

Вычислить предел: 9. Р = = (выделим в скобках единицу) = = (в показателе выделим выражение обратное выражению 2(2 – х), получим) .

Аналогично, но без комментариев.

ПРИМЕР 9

Теперь попроще и потому покороче

ПРИМЕР 10.

ПРИМЕР 11

ПРИМЕР 12

а) [неопределенность

б) [неопределенность ]

в)

[неопределенность ]

ПРИМЕР 13

а вот здесь получаем неопределенность ; перейдем к неопределенности , для этого

ПРИМЕР 14

имеем , но вторая форма записи второго замечательного предела

Поиск по сайту: