Дисперсия и поглощение света

► Классическая модель диспергирующей среды. При распро­странении в веществе электромагнитной волны заряженные частицы среды приходят в вынужденное колебательное движение. Амплитуда этих колебаний и их сдвиг по фазе по отношению к колебаниям на­пряженности поля волны зависят от соотношения частоты волны ω и частоты собственных колебаний частиц ω₀ (см. разд. 4.3). Резуль­тирующей: волновое возмущение можно рассматривать как результат интерференции исходной волны и волн, излученных частицами среды (такой подход называют молекулярной оптикой). Однако в случае од­нородной среды можно получить частотные характеристики волны полуфеноменологически, учитывая возникающую при смещении частиц поляризованность, вводя зависящие от частоты диэлектрическую вос­приимчивость и проницаемость и вычисляя показатель преломления. Затухание волны, т.е. преобразование энергии колебаний в тепловую энергию, учитывается введением полуэмпирических коэффициентов затухания осцилляторов; диэлектрическая проницаемость и показа­тель преломления становятся при этом комплексными числами.

Рассмотрим сначала среду из одинаковых осцилляторов. Уравнение движения заряженной частицы имеет вид

где Е – поле, действующее на частицу (в оптическом диапазоне игра­ют роль только электроны). В неплотных газах можно не учитывать отличие локального поля от среднего, т.е. считать, что на электроны действует непосредственно поле волны . Решение уравнения движения ищем в виде , и после подстановки получим

(в комплексной записи автоматически учитывается сдвиг фаз). Сме­щение частиц приводит к появлению у молекул дипольных моментов

т.е. к появлению поляризованноети (N – концентрация). Из соотношения находим комплексную диэлектрическую проницаемость

(18)

Показатель преломления тоже будет мнимый: , причем че­рез действительную часть выражается фазовая скорость волны, а через η — коэффициент затухания:

(19)

Чтобы найти и надо в равенстве приравнять действительные и мнимые части. Вдали от собственной частоты (при ) получим

Зависимости и качественно изображены на рис. 90 ( – значение при , которое называют статическим). Там, где поглощение невелико, показатель преломления возрастает с частотой (нормальная дисперсия). В узкой области сильного поглощения наблю­дается аномальная дисперсия.

Аналогичная ситуация возникает возле каждой собственной ча­стоты ( и па рис. 90). Например, в инфракрасной области спектра наблюдаются полосы поглощения и аномальной дисперсии, связанные с колебаниями ионов. Полосы поглощения в ультрафиолето­вой (иногда – в видимой) областях спектра объясняются колебаниями электронов на внешних оболочках атомов (оптических электронов). В рентгеновской области спектра частота волны ω велика по сравнению со всеми собственными частотами и зависимость определяется колебаниями электронов, которые можно считать свободными:

(20)

Коэффициент преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы. Такая же формула верна для волны, распространяющейся в разреженной плазме, содержащей свободные электроны.

Фазовая скорость волны в плазме (а также справа от полосы поглощения в диэлектрике) оказывается больше скорости света в вакууме (п < 1). Однако здесь не содержится противоречия с теорией относительности, так как групповая скорость волны u = dω /dk (см. разд. 4.4) будет при этом меньше с. Убедимся в этом для волны в плазме. Используя соотношение и уравнение (20), получим:

Значит, в этом случае .

У полярных молекул (например, воды) широкая полоса аномаль­ной дисперсии находится в области сантиметровых радиоволн, где ам­плитуда вращательных колебаний диполей, стремящихся повернуться вслед за напряженностью поля, сильно зависит от частоты. Именно в этой области происходит уменьшение от большого статиче­ского значения (для воды ) к высокочастотному значению (для воды ).

Формула (18) верна только при п, близких к единице, когда можно пренебречь отличием поля, действующего на молекулу, от среднего поля в веществе. Обобщением на случай плотных газов и жидкостей является формула Лорентц — Лоренца:

которая следует из формулы Клаузиуса — Масотти (раздел 3.6). При изменении плотности вещества величина

которая называется удельной рефракцией, должна оставаться постоян­ной.

► Рассеяние света. Ослабление волны. Интенсивность волны в среде уменьшается не только из-за поглощения света, но и вследствие его рассеяния. Рассеяние объясняется излучением света атомными ос­цилляторами, которое происходит по всем направлениям (см. разд. 4.5). Однако в идеально однородной среде свет, рассеянный молекулами, находящимися на расстоянии λ/2 друг от друга, испытывал бы полное интерференционное гашение, и ослабление за счет рассеяния в этом случае отсутствовало бы. Рассеяние наблюдается па малых инородных частицах (тиндалевское рассеяние в мутных средах) и на неоднородностях, возникающих вследствие флуктуации плотности (рэлеевское рассеяние).

Интенсивность света, рассеянного на неоднородностях, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, пропорциональна λ^-4 (закон Рэлея, см. также разд. 4.5). Этим объясняется голубой цвет неба (рассеянный солнечный свет) и желто-красный цвет солнца (проходя­щий свет). Степень поляризации рассеянного естественного света за­висит от угла рассеяния; свет, рассеянный под углом π/2, оказывается полностью поляризованным. Качественное объяснение состоит в том, что в этом направлении излучают только осцилляторы, направление колебаний которых перпендикулярно направлению рассеяния. Рассея­ние на неоднородностях, больших по сравнению с длиной волны, слабо зависит от частоты; этим объясняется белый цвет облаков.

Рэлеевское рассеяние на флуктуациях плотности или концентра­ции зависит от температуры. При приближении к критической точке средние размеры флуктуации резко возрастают и наблюдается белое помутнение жидкости, называемое критической опалесценцией.

Ослабление пучка света при не очень большой интенсивности про­исходит по экспоненциальному закону (закон Бугера):

где коэффициент ослабления: α равен сумме коэффициента поглоще­ния, который выражается через мнимую часть показателя преломле­ния (см. формулу (19)), и коэффициента рассеяния, который описывает ослабление волны из-за рассеяния.

Тепловое излучение

► Равновесное тепловое излучение. Излучение электромагнит­ной (лучистой) энергии телом за счет энергии хаотического (теп­лового) движения его молекул называется тепловым излучением. Свойства теплового излучения определяются материалом тела и его температурой. Если из любого материала сделать замкнутую по­лость и поддерживать температуру ее стенок постоянной, то система (стенка + излучение) придет в состояние термодинамического равнове­сия, и в объеме полости установится равновесное тепловое излучение. Важнейшая особенность равновесного излучения состоит в том, что его свойства полностью определяются температурой стенок и не зависят от их материала. Это утверждение является следствием второго начала термодинамики. Кроме того, равновесное излучение однородно и изо­тропно.

Основные характеристики как излучения с поверхности тела, так и излучения в объеме были введены в разд. 5.1. Излучение с по­верхности характеризуется энергетической яркостью В и энергетиче­ской светимостью R, равной количеству лучистой энергии, излученной с единицы поверхности за единицу времени по всем направлениям (т. е. в телесный угол 2π). Вводятся также спектральные разложения энер­гетической светимости например величины r называются излучательными способностями тела. Излучение в объ­еме характеризуется интенсивностью лучистого потока I и объемной плотностью лучистой энергии и, а также их спектральными разложе­ниями. В случае изотропного излучения они связаны соотношением и = 4πI / c. Освещенность Е определяется как полный лучистый поток через единичную площадку со всех направлений (из телесного угла 2π); в случае изотропного излучения выполняются соотношения

Спектральные плотности освещенности Е обозначим . Пе­ресчет от одной спектральной характеристики к другой обсуждается в разд. 5.1.

► Поглощательная способность. Закон Кирхгофа.Поглощательной способностью тела называется доля падающей лучистой энер­гии, поглощенная телом (для узкого интервала длин волн или частот):

Тело, для которого во всем спектральном интервале, называет­ся абсолютно черным телом. Моделью черного тела может служить замкнутая полость с небольшим отверстием; почти все лучи, попадаю­щие в полость через отверстие, в результате многократных отражений от внутренних стенок оказываются поглощенными. Тело, у которого , называют серым.

Так как равновесное излучение находится в равновесии с поверхно­стью, то для любого спектрального интервала количество поглощенной лучистой энергии, равное , должно быть равно количеству излученной энергии, равному . Поскольку характеристики равно­весного объемного излучения не зависят от свойств конкретного тела, то отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности оказывается универсальной функцией длины волны и температуры (закон Кирхгофа):

(21)

Поскольку для абсолютно черного тела поглощательная способность равна единице, то стоящая справа функция есть не что иное, как излучательная способность абсолютно черного тела, которую обозна­чим :

.

Видно, что излучательная способность абсолютно черного тела и его энергетическая светимость не зависят от способа его изготовления; они связаны с объемной плотностью энергии соотношениями

(22)

При одной и той же температуре абсолютно черное тело обладает самой большой излучательной способностью и энергетической светимостью. Например, для серого тела Отметим, что поскольку рав­новесное излучение изотропно, черное тело является ламбертовским источником (см. разд. 5.1).

► Законы Стефана — Больцмана и Вина. Излучательная спо­собность абсолютно черного тела при данной температуре стремится к пулю при малых и больших λ и достигает максимального значе­ния при некоторой длине волны λ_m, которая зависит от температу­ры. Площадь под кривой равна энергетической светимости R*(T). Применение к равновесному излучению в полости общих соотношений термодинамики позволило получить для него ряд общих соотноше­ний. (Температура равновесного теплового излучения считается равной температуре стенок.) Закон Стефана — Больцмана утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры:

(23)

где — постоянная Стефана — Больцмана.

Для вывода (23) надо воспользоваться выражением для давле­ния изотропного излучения (см. разд. 2.5) и формулой , которая является следствием второго начала термодинамики (разд. 2.3). Подставляя , придем к уравнению , откуда получим . Кроме того, из формулы для давления и из первого начала термодинамики ( ) можно для равновесного излучения вывести уравнение адиабатического процесса: . Отсюда с учетом получим .

Если рассмотреть медленное адиабатическое изменение объема из­лучения, заключенного в сосуд с зеркальными стенками, и применить к отражению света от движущегося зеркала формулу эффекта Доплера (см. разд. 4.4, 4.5), то удается доказать формулу Вина:

или

(24)

где f_i(x) неизвестные функции, вид которых не может быть установ­лен в рамках термодинамики. Аналогичные выражения для имеют вид

или .

(25)

Из формулы Вина (24) (или (25)) можно вывести закон Стефана — Больцмана (2.3). Кроме того, из этих формул следует закон смещения Вина, выражающий зависимость положения максимума функции (или ) от температуры:

или ,

(26)

где - постоянная Вина. Например, при уменьшении температуры в два раза положение максимума функции (или ) становится в два раза ближе к началу координат, а сам максимум становится в восемь раз ниже (рис. 91); площадь под графиком уменьшается при этом в 16 раз.

► Формула Рэлея— Джинса. Рэлей и Джине предприняли по­пытку получить вид функции в рамках классической статисти­ческой физики. Они рассмотре­ли излучение в полости как ан­самбль стоячих электромагнитных волн, случайным образом обменивающихся энергией со стенками и между собой. С точки зрения ста­тистики, каждая независимая стоячая волна, имеющая некоторую частоту колебаний, эквивалентна осциллятору с такой же частотой. Вычисление энергии сводится к двум независимым вопросам:

1) Какое число dg осцилляторов (стоячих волн) приходится на интервал частот dω? Ответ должен выражаться в виде функции G(ω), которую называют плотностью состояний: , где V — объем сосуда.

Для вычисления G(ω) можно рассмотреть сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами L_x, L_y, L_z. Граничные условия (например, требование, чтобы на границах находились узлы стоячих волн) приводят к условиям . Следовательно, в пространстве волновых векторов допустимые состояния соответствуют узлам решетки со сторонами π / L_ξ и объемом ячейки . Объем k-пространства, соответствующий изменению величины волнового вектора от k до k + dk, равен (объем сферического слоя, отсекаемый первым квадрантом). Разделив на объем ячейки, получим число пространственно различных колебаний в интервале . Необходимо также учесть дополнительные степени свободы (в случае электромагнит­ных волн — два возможных состояния поляризации), которые для общности учтем дополнительным множителем γ.

Найдем число состояний на единицу объема:

(27)

Эта формула получена из граничных условий и имеет очень общий характер и многочисленные применения. Для перехода к ω надо учесть соотношение k = ω / c. Окончательно получим

(28)

2) Чему равна средняя энергия одного осциллятора?

Классическая физика дает следующий ответ (см. разд. 2.2): ка­ждому осциллятору, независимо от его частоты, надо приписать две степени свободы, и в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии, средняя энергия каждого осциллятора должна быть равна kT, где k — постоянная Больцмана.

В результате таких рассуждений классическая физика приводит к формуле Рэлея – Джинса:

(29)

Опыт показывает, что формула Рэлея – Джинса хорошо выполняется на малых частотах (при ω << ω_m), но абсолютно неверна на больших (рис. 91). Действительно, хотя (29) удовлетворяет требованиям, нала­гаемым на любую возможную функцию и_ω формулой Вина (25), но сразу видно, что полученная функция не имеет максимума; она моно­тонно возрастает, и интеграл т.е. полная энергия излучения, равен бесконечности! Эта ситуация стала одним из признаков глубокого кризиса классической физики и была названа современниками ультра­фиолетовой катастрофой.

►Формула Планка. Теорема о равнораспределении энергии являет­ся следствием того, что классическая энергия осциллятора, пропорцио­нальная квадрату его амплитуды, может принимать любые, в том числе очень маленькие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка энер­гия осциллятора (отсчитываемая от минимального значения) может принимать только дискретные значения, кратные некоторой величине, зависящей от частоты осциллятора:

(30)

Для вычисления средней энергии можно использовать формулу Макс­велла Больцмана (см. разд. 2.5), согласно которой вероятность состо­яния с энергией ε пропорциональна exp[-ε / (kT)]. Получаем

Ряд в знаменателе есть просто сумма геометрической прогрессии, а чис­литель получается из знаменателя дифференцированием по 1/(kT) Проведя вычисления, имеем

,

(31)

Сравнение с формулой Вина (25) показывает, что должна быть пропорциональна ω:

(32)

где — универсальная постоянная. Постоянную называют постоянной Планка, также называют посто­янной Планка или иногда просто «аш с чертой»; первую удобно исполь­зовать с частотой, а вторую с циклической частотой: . Так как энергия кванта пропорциональна частоте осциллятора, то при данной температуре колебания высоких частот возбуждаются с очень малой вероятностью и их вклад в энергию излучения оказывается ничтожно малым. Это разрешает проблему ультрафиолетовой ката­строфы.

После подстановки (32) в формулу для средней энергии получим формулу Планка для спектральной плотности энергии:

(33)

График этой функции приведен на рис. 91. Запишем формулу Планка также в переменных ν и λ:

,

(34)

При hω << kT формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джин­са (29). Из формулы Планка можно получить выражения для постоян­ных Стефана – Больцмана и Вина через универсальные постоянные:

,

Формула Планка очень хорошо согласуется с экспериментом во всем диапазоне частот.

Световые кванты

► Фотоэффект.Внешним фотоэффектом называют вырывание электронов из вещества под действием света. Для изучения фото­эффекта используют вакуумную лампу с холодным катодом (в этом случае термоэлектронную эмиссию можно не учитывать). Облучая катод светом фиксиро­ванной частоты и интенсивности, снимают вольтамперную характеристику лампы (зави­симость тока от анодного напряжения). По вольтамперной характеристике (рис. 92) узна­ют: а) число электронов, вырываемых из като­да в единицу времени (оно выражается через ток насыщения: ) и б) максималь­ную кинетическую энергию вырываемых электронов; она выражается через задерживающее напряжение, т.е. анодное напряжение, при ко­тором ток обращается в нуль:

При этом напряжении даже самые быстрые электроны не могут доле­теть до анода.

Первый закон фотоэффекта: количество электронов, вырываемых светом из металла в единицу времени, пря­мо пропорционально интенсивности световой волны. [1])

Второй закон фотоэффекта: максималь­ная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой света и не за­висит от интенсивности света. Если частота света меньше определенной для данного ве­щества минимальной частоты v_m, то фото­эффект не наблюдается (красная граница фо­тоэффекта). Экспериментально было обна­ружено, что зависимость от v для дан­ного металла имеет вид наклонной прямой, причем наклон прямых, построенных для разных металлов, оказался одинаковым (рис. 93).

Классическая волновая теория света не смогла объяснить второй закон фотоэффекта. Кроме того, в рамках этой теории выглядела необъяснимой безинерционность фотоэффекта полное отсутствие задержки между началом облучения и возникновением тока.

►Кванты света. Объяснение законов фотоэффекта было дано Эйн­штейном. Он опирался на квантовую гипотезу Планка (разд. 5.6), но пошел гораздо дальше, предположив, что кванты световой энергии поглощаются целиком отдельными электронами. Это означает, что в процессе поглощения свет ведет себя как локализованная частица (ее назвали фотоном) с энергией

(35)

Как любая безмассовая частица, движущаяся со скоростью света, квант света — фотон — обладает импульсом

(36)

Связь между энергией и импульсом безмассовой частицы дается тео­рией относительности (см. разд. 1.11).

Квантовые свойства света проявляются при испускании, поглоще­нии и рассеянии света. В явлениях, связанных с распространением света, проявляются его волновые свойства. Свет обладает двойствен­ной природой (корпускулярно-волновой дуализм). Такие же свойства проявляют все элементарные частицы.

Фотоэффектом (актом фотоэффекта) называется поглощение фо­тона какой-нибудь частицей, например электроном. В результате фото­эффекта квант света исчезает, а электрон приобретает дополнительную энергию. Если фотоэлектрон вылетает из вещества, то наблюдается внешний фотоэффект; если остается внутри, то имеет место внут­ренний фотоэффект. При внутреннем фотоэффекте электроны могут переходить из связанного состояния в свободное, в результате чего увеличивается число носителей тока и, следовательно, уменьшается со­противление. Фотоэффект используется при создании фотоэлементов, фотореле и т. д.

Пример 1. Может ли происходить фотоэффект на свободном электроне?

Решение. Нет, не может, так как при этом не могут одновременно выпол­няться законы сохранения энергия и импульса. Это становится очевидным, если перейти в иперциальную систему отсчета, в которой электрон после фотоэффекта покоится. До фотоэффекта в системе были квант света и дви­жущийся электрон, а после фотоэффекта— только неподвижный электрон, т.е. энергия не сохраняется.

Поглощая квант света, электрон приобретает энергию hv. При вы­лете из металла энергия каждого электрона уменьшается на определен­ную величину, которую называют работой выхода A_вых (работа, кото­рую необходимо затратить, чтобы удалить электрон из металла; работа выхода зависит от рода вещества). Максимальная энергия электронов после вылета (если нет других потерь) имеет вид

(37)

(уравнение Эйнштейна). Если hv < A_вых, то внешний фотоэффект не происходит. Следовательно, красная граница фотоэффекта равна

Из (37) видно, что наклон прямых на графике от v (рис. 93) равен h, а отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, равен работе выхода.

Энергию фотонов и работу выхода принято выражать во внеси­стемных единицах – электронволътах (эВ). Один эВ равен энергии, приобретенной электроном при прохождении им разности потенциа­лов – 1 В: . Если, например, задерживающее напряжение равно -3,5 В, то максимальная кинетическая энергия электронов равна 3,5 эВ.

Пример 2. Существование работы выхода означает, что на границе металла возникают силы, удерживающие электрон внутри металла. Как объяснить притяжение электрона к электронейтральному металлу?

Решение. Заряженная частица притягивается наведенными на поверхности проводника зарядами противоположного знака. Сила притяжения вы­числяется с помощью метода электростатических изображений (разд. 3.5). Вылетающие и возвращающиеся электроны образуют возле поверхности отрицательно заряженное облако, а заряды па поверхности металла – положительно заряженный слой. Между заряженными слоями существует нену­левая средняя напряженность поля, направленная наружу.

► Граница рентгеновского спектра. Если электроны разогнать в вакуумной трубке, к электродам которой приложено напряжение в несколько киловольт, то при ударе электронов об анод возникает тормозное рентгеновское излучение. Исследование спектра этого из­лучения показывает, что в нем отсутствуют длины волн, меньшие неко­торого значения λ_k, которое обратно пропорционально приложенному к трубке напряжению. Этот факт находит естественное объяснение в квантовой оптике. Энергия излученного фотона не может превысить кинетическую энергию электрона: , откуда получим

Теоретическое значение коэффициента пропорциональности между λ_k и (хорошо согласуется с экспериментом).

► Давление света. Давление света было предсказано Максвеллом на основе электромагнитной теории и измерено Лебедевым. Установка Лебедева состояла из легкого стержня, подвешенного в вакууме на тонкой нити. По краям стержня были закреплены две тонких пла­стинки - одна отражающая, другая поглощающая. Освещая пластинки и измеряя закручивание нити, он вычислял световое давление.

Электромагнитная теория давала следующее объяснение световому давлению: электрическое поле электромагнитной волны вызывает в ме­талле ток, на который действует сила Ампера со стороны магнитного поля волны; эта сила направлена в сторону распространения волны и является причиной светового давления. Гораздо проще выглядит объяснение давления на языке световых квантов: фотоны, каждый из которых обладает импульсом (36), поглощаются или отражаются, передавая свой импульс веществу. При отражении фотона переданный импульс в два раза больше, чем при поглощении (см. также разд. 4.5).

► Эффект Комптона. При взаимодействии фотона со свободным электроном процесс поглощения фотона запрещен законами сохране­ния, но может происходить рассеяние фотона. Если первоначально электрон покоился, то в результате взаимодействия он приобретет некоторую скорость. Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия фотона уменьшилась на величину кинетической энергии электрона, что означает, что должна уменьшиться его частота. В то же время с точки зрения волновой теории частота рассеянного света должна совпадать с частотой падающего. Это явление называется эффектом Комптона, оно было обнаружено при рассеянии рентгеновских лучей и сыграло важную роль в утверждении квантовых представлений.

Рассеяние фотона на электроне можно рассматривать как упругое соударение двух частиц, подчиняющееся законам сохранения энергии и импульса:

где и – начальный и конечный импульсы фотона, и – импульс и энергия электрона отдачи (рис.94). Выразим энергию и импульс электрона от­дачи и подставим в соотношение (см. разд. 1.11). После преобразований имеем

где — угол рассеяния фотона (угол между векторами и ).

Выразив из уравнения (36) им­пульсы падающего и рассеянного фотона: получим формулу для зависимости приращения длины волны от угла рассеяния:

Величина называется комптоновской длиной волны электрона. Энергия фотона с длиной волны равна энергии покоя электрона тс². Максимальный эффект соответствует рассеянию фотона на угол .

► Число фотонов в равновесном излучении. Формулу Планка (33) для плотности энергии равновесного теплового излучения можно записать на языке световых квантов следующим образом:

где hω — энергия одного кванта, G(ω) =ω²/π²с³ — плотность состоя­ний, а

(38)

имеет смысл числа фотонов в состоянии с определенной частотой ω.

Поиск по сайту: