Тема «Производная, ее геометрический и механический смысл»
Цели урока:
· изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику функции в точке;
· способствовать воспитанию у школьников интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям;
· способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности.
Ход урока:
Организационный момент
Изучение нового материала
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) - f ( x0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x ) в точке x0называется предел:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис. видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0) имеет вид:
y = f ’( x0) · x + b .
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0) = f ’( x0) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0) – f ’( x0) · x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f ( x0) + f ’( x0) · ( x – x0) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).