Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Изучение нового материала

Подготовил Хыля Александр Александрович. 10 класс

Тема «Производная, ее геометрический и механический смысл»

Цели урока:

· изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику функции в точке;

· способствовать воспитанию у школьников интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям;

· способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности.

Ход урока:

Организационный момент

Изучение нового материала

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) - f ( x0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x ) в точке x0называется предел:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):


Из рис. видно, что для любых двух точек A и B графика функции:



где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0) имеет вид:

y = f ’( x0) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0) = f ’( x0) · x0 + b ,

отсюда, b = f ( x0) – f ’( x0) · x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x0) + f ’( x0) · ( x – x0) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

3. Решить: № 183, 184, 185, 191, 192.

4. Д/з: № 186, 189, 193. Пункт 4.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.