Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Частные производные функции двух переменных



Сведения из теории

Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .

 

Определение Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Термины: - область определения функции; и - аргументы функции.

Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .

Область называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.

Пример28. Найти область определения функции .

Решение.

Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:

 

 

Ответ. Область определения функции - затемненная область на рисунке.

 

В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.

Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных.

Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

 

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

 

Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

 

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Замечание В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и (читается дэ z по дэ x,
дэ z по дэ y).

Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другая не меняется и считается константой. При этом функция 2-х переменных фактически становится функцией одной переменной.

Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .

Сведения из теории

Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.