Основные операции над множествами

Равенство множеств

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А=В.

Если множества не равны, то пишут А В.

Запись равенства двух множеств А=В эквивалентна записи А В, или В А.

Например, множество решений уравнения х2-5х+6=0 содержит те же самые элементы, что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны.

Пересечение (умножение) множеств

Множество D, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается D=А В (рис.3.1).

Рис.3.1

Рассмотрим два множества: Х= 0,1,3,5 и Y= 1,2,3, 4 . Числа 1 и 3 только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество 1,3 содержит все общие для множества Х и Y элементы. Таким образом, множество 1,3 является пересечением рассмотренных множеств Х и Y:

1,3 = 0,1,3,5 1,2,3, 4 .

Для отрезка и интервала(0;3) пересечением является промежуток (0;1 .

Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть множество учеников восьмых классов, являющихся чле­нами химического кружка.

Пересечение множеств (и другие операции — см. ниже) хо­рошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума Венн предложил использовать круги и прямоугольники. При этом универ­сум представляется множеством всех точек некоторого прямо­угольника, а его подмножества — соответствующими кругами. В дальнейшем такие схемы стали называть диаграммами Эйлера-Венна.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово­рят, что эти множества не пересекаются или что их пересече­ние — пустое множество, и пишут А В = .

Например, пересечение множества четных чисел с множе­ством нечетных чисел пусто.

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: А = .

Можно рассматривать пересечение п множеств:

Аi=A1 A2 … An при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А1, А2, ... Аn .

Например, если A, В и С — соответственно множества уче­ников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого клас­са, решивших все три задачи.

Поиск по сайту: