Односторонний предел по Гейне

34.

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Окрестностное определение по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в .

Свойства пределов числовых функций.

Пусть даны функции и .

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где — проколотая окрестность точки a.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

• Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

• Предел суммы равен сумме пределов:

• Предел разности равен разности пределов:

• Предел произведения равен произведению пределов:

• Предел частного равен частному пределов.

Определения.

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Поиск по сайту: