Основные теоретические сведения. Основной задачей механики является определение положения тела в пространстве и во

Основной задачей механики является определение положения тела в пространстве и во времени. Решению этой задачи способствует ряд физических законов, одним из которых является основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями (изменением формы и размеров) которого в условиях данной задачи можно пренебречь. В большинстве случаев реальные тела можно с достаточной для практики точностью считать абсолютно твердыми. В дальнейшем мы их будем называть просто твердыми телами.

Основной закон динамики (II закон Ньютона) для вращательного движения твердого тела: в инерциальной системе отсчета угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции относительно данной оси:

, (1)

где – сумма моментов всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения.

Моментом силы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора , проведенного от оси в точку приложения силы, на силу :

,

где – псевдовектор, то есть вектор, не имеющий определенной точки приложения. Он направлен всегда вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта (буравчика): при вращении правого винта от к его поступательное движение укажет направление (рис. 1).

Модуль момента силы:

,

где – угол между и ;

– плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Единица измерения момента силы в СИ:

(ньютон-метр).

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведения масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

,

где – плотность тела;

– объем тела;

– масса тела;

– расстояние от оси вращения.

Единица измерения момента инерции в СИ:

(килограмм-квадратный метр).

Момент инерции легко рассчитать только в случае тела однородного по плотности и симметричного относительно оси, проходящей через центр масс (воображаемая точка, в которой можно считать сосредоточенной всю массу системы, называемая также центром инерции). Момент инерции тела относительно произвольной оси можно вычислить, используя теорему Штейнера: момент инерции тела относительно любой произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями :

.

Момент инерции тел неправильной геометрической формы проще определить экспериментально, чем рассчитать.

Обоснование метода

Получим рабочие формулы для проверки основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

Модуль углового ускорения маятника связан с модулем линейного ускорения точек на ободе шкива радиуса соотношением . Так как нить нерастяжима, то ускорение равно ускорению платформы. С учётом того, что путь, проходимый телом из состояния покоя при равнопеременном движении равен , где – время движения, получаем:

. (2)

Найдём суммарный момент сил, действующих на маятник. К нему приложены сила тяжести и сила натяжения нити. Чтобы упростить задачу, маятник устанавливают в безразличное равновесие, тогда центр тяжести будет лежать на оси маятника и момент силы тяжести будет равен нулю.

Таким образом, суммарный момент сил, действующих на маятник, будет определяться только моментом силы натяжения нити.

Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения в блоке, силу натяжения можно считать одинаковой по всей длине нити.

Найдем эту силу. На платформу массы действует сила натяжения нити и сила тяжести (рис. 2). Согласно второму закону Ньютона векторная сумма этих сил равна произведению массы платформы на её линейное ускорение:

.

Проецируя это уравнение на ось , получаем , т. е. .

Так как , получаем .

Таким образом, момент силы натяжения, то есть суммарный момент сил, действующих на маятник:

. (3)

Получим выражение для момента инерции маятника.

Пусть – момент инерции маятника без грузов, – момент инерции одного груза массы относительно оси, проходящей через его центр масс. Согласно теореме Штейнера момент инерции этого груза относительно оси вращения маятника будет , где – расстояние между осью вращения и центром тяжести груза. Следовательно, момент инерции маятника с грузами:

. (4)

Исследование зависимости при и , при позволяет сделать вывод о справедливости основного закона динамики вращательного движения.

Описание установки

Маятник Обербека, применяемый в данной работе, схематически изображен на рисунке 3.

Рис. 3. Внешний вид установки

Все части прибора укреплены на вертикальной колонне 1, установленной на основании 2 с регулируемыми ножками 3 для горизонтальной установки прибора.

Основной частью прибора является втулка 4 с четырьмя взаимно перпендикулярными стержнями 5. Ось втулки находится в подшипнике. На ее задний, выступающий из подшипника конец, насажены два легких шкива 6 радиусами и . По стержням могут перемещаться и закрепляться одинаковые грузы 7 массой . Момент инерции маятника зависит от положения грузов на стержнях.

На один из шкивов 6 наматывается тонкая нить, переброшенная через легкий блок 8. К свободному концу нити прикреплена платформа 9 массой , на которой размещаются гирьки 10 массой . С целью отсчета пути, проходимого платформой, на колонне 1 нанесена миллиметровая шкала 11. Момент силы, вызывающий вращение маятника, можно менять, помещая на платформе различное число гирек, либо изменяя плечо силы, навивая нить на шкивы разного радиуса.

Автоматический запуск установки, измерение времени падения платформы с гирьками и торможение маятника осуществляются электронной схемой прибора. Она состоит из двух фотоэлектрических датчиков 12, электросекундомера 13 и электромагнита торможения 14 с фрикционным диском 15 (расположен соосно со шкивами 6).

При нажатии кнопки «пуск» отключается электромагнит торможения, а при прерывании светового потока в верхнем датчике падающей платформой, включается секундомер. Как только нижний край платформы прервет световой поток в нижнем датчике, одновременно выключается секундомер, и включается электромагнит торможения.

Уравнение (1) связывает три физические величины. Опыт же позволяет установить функциональную зависимость каких-либо двух величин – либо при , либо при .

Погрешности проведенных измерений можно рассчитать по формулам:

, (5)

, (6)

. (7)

Поиск по сайту: