Розділ IV. Електричні коливання і електромагнетні хвилі

Тема 1. Змінний струм

Фізичні явища

· Синусоїдний змінний струм – змінний струм, сила якого змі­нюється з часом за синусоїдним законом.

· Ефективне (діюче) значення змінного струму – це таке зна­чення сили постійного струму, за якого його середня теплова по­туж­ність така ж, як і за цього змінного струму (інакше кажучи: це таке значення сили постійного струму, який дає такий самий тепловий ефект, як і цей змінний струм).

· Квазістаціонарне коло змінного струму – це таке коло змін­ного струму, розміри якого значно менші за довжину електро­магнет­ної хвилі, яка поширюється вздовж кола.

· Активний опір– це векторна складова повного опору кола змінного струму, яка спричинена наявністю опору провідників.

· Ємнісний опір – це векторна складова повного опору кола змін­ного струму, яка спричинена наявністю в цьому колі ємності (позначення )

.

· Індуктивний опір – це векторна складова повного опору кола змінного струму, спричинена наявністю в цьому колі індуктивності (позначення ).

.

· Коефіцієнт трансформації – це відношення напруг у вторинній та первинній обмотках трансформатора (позначення k).

· Повний опір – це величина

· Резонанс напруг – це явище різкого зростання струму в нероз­галу­же­ному колі змінного струму за умови рівності ємнісного та індуктивного опорів.

· Резонанс струмів– це явище різкого зменшення сили струму в нероз­га­лу­женій ділянці розгалуженого кола за умови рівності ємнісного та індуктивного опорів.

Фізичні поняття

·Фазна напруга – це напруга між нульовим і фазним проводом трифазного генератора.

·Лінійна напруга – це напруга між будь-якими двома фазними проводами трифазного генератора.

Фізичні системи й прилади

·Трансформатор– це прилад для підвищення чи зниження напруги змінного струму.

·Генератор змінного струму – прилад, який генерує змінну електрорушійну силу.

·Асинхронний двигун – це електричний двигун трифазного змінного струму, в якому обертове магнетне поле статора індукує в роторі струм, який, своєю чергою зазнаючи дії цього магнетного по­ля, спричиняє обертання ротора.

Задачі

(229) На основі закону електромагнетної індукції встановимо ча­сову за­леж­ні­сть ЕРС індукції, яка виникає в контурі площею , що обертається з кутовою швидкістю в однорідному магнетному полі з індукцією .

Унаслідок обертання контура в магнетному полі в ньому ви­ни­кає ЕРС індукції, спричинена зміною магнетного потоку крізь цей контур (мал. 148). Оскільки поле однорідне, а контур плоский, то маг­нетний потік і тоді, згідно з законом електро­маг­нет­ної індукції

Враховуючи, що і – це сталі вели­чи­ни, а кут , будучи кутом між вектором і нормаллю до площини контура, водночас є ку­том між початковим та наступним станом пло­щини, причому, згідно з означенням ку­тової швидкості дістанемо

Величина має розмірність ЕРС і є її максимальним зна­ченням, тому позначимо її . Дістанемо закон зміни ЕРС у контурі

тобто рівномірне обертання контура в постійному магнетному полі спри­чиняє виникнення в ньому синусоїдної ЕРС. Це явище і зак­ла­де­но в основу роботи генераторів синусоїдної ЕРС.

(230) Доведемо, що середнє значення синусоїдної змінної ЕРС за період до­рів­нює нулеві.

За формулою середнього значення функції

Очевидно, що середнє значення змінної ЕРС і за будь-який про­міжок часу, що дорівнює великій кількості періодів, дорівнює нулю. Проте це не означає, що змінний струм не здатний виконувати робо­ту.

(231) Покажемо, що середнє значення теплової потужності змін­ного струму за період не дорівнює нулеві.

Середнє значення теплової потужності змінного струму за період (чи багато періодів)

де P – миттєве значення потужності, яке як і для постійного струму (очевидно, що миттєве значення змінного струму мож­на вва­жати постійним). Після підстановки цього виразу в останню рівність ді­с­та­немо

звідки бачимо, що середнє значення теплової потужності змінного струму не дорівнює нулеві (на відміну від середнього значення змін­ного струму).

(232) Знайдено зв'язок між ефективним та максимальним зна­ченням змінної ЕРС.

Згідно з означенням ефективного значення змінного струму, нам слід прирівняти середнє значення теплової потужності змінного стру­му за пе­рі­од до теплової потужності постійного струму, величина якого дорівнює ефективному значенню цього змінного струму.

У результаті розв’язання попередньої задачі ми знайшли, що середнє значення теплової потужності змінного струму

Потужність постійного струму з ефективним значенням цього змін­ного струму

Прирівнявши до дістанемо

тобто ефективне значення змінного струму є меншим за його мак­си­мальне (амплітудне значення) в рази, що означає: для того, щоб від змінного струму отримати такий самий тепловий ефект, як і від заданого постійного струму, його амплітудне значення має бути в рази більшим за цей постійний струм.

(233) Обґрунтуємо застосовність закону Ома та правил Кірхгофа до миттєвих, амплітудних та ефективних значень сили струму й напруги.

Дійсно, оскільки миттєві значення сили струму та напруги мож­на вважати постійними, до них можна застосувати закон Ома та пра­вила Кірх­гофа. Амплітудне значення сили струму чи напруги – це одне з мит­тє­вих значень, а ефективне значення – це зменшене в рази амплітудне, тому до них також застосовні згадані закони.

(234) Доведемо, що в активному резисторі сила змінного струму збіга­ється за фазою з напругою.

Розглянемо коло, у якому є синусоїдна ЕРС та активний опір R (мал. 149). Згідно з законом Ома, сила струму в колі

Величина має одиницю виміру сили струму і є її мак­си­ма­льним значенням, тому позначимо її . Дістанемо закон зміни сили струму

звідки бачимо, що під знаком синуса у виразі для струму як і у виразі для ЕРС одна і та ж величина , тобто фази сили струму і напруги збіга­ють­ся.

(235) Доведемо, що в індуктивному резисторі сила струму відстає від нап­руги за фазою на .

Розглянемо коло, у якому є лише синусоїдна ЕРС та соленоїд з індуктивністю L (мал. 150).

Застосуємо до цього кола друге правило Кірх­гофа. Оскільки в колі є дві електрорушійні сили – ЕРС джерела та ЕРС самоіндукції, яка виникає внас­лідок протікання змінного струму через соленоїд (за­дача 194) і немає напруг (бо немає активного опору), то згідно з другим правилом Кірхгофа

звідки

Після інтегрування

Для того, щоб порівняти фази сили струму та ЕРС, слід останній вираз для сили струму представити через функцію sin, як і вираз для ЕРС.

де

З отриманої рівності для сили струму та рівності для ЕРС бачимо, що сила струму відстає за фазою від ЕРС на . Стала інтегрування С очевидно не впливає на фазу.

Крім того, в ході цього виводу ми отримали, що максимальне зна­чен­ня сили струму

,

звідки бачимо, що величина має зміст опору. Цю вели­чину нази­вають індуктивним опором . Бачимо, що він є більшим, що більші час­тота змінного струму та індуктивність соленоїда (насправді індуктивність всього кола). Причиною виникнення цього опору є яви­ще самоіндукції.

(236) Доведемо, що в ємнісному резисторіопорі сила струму випереджає нап­ругу за фазою на .

Розглянемо коло, у якому є, крім змінної ЕРС, тільки конденсатор з ємністю С (мал. 151). У цьому колі є одна ЕРС – це ЕРС джерела та одна напруга – це напруга на кон­ден­саторі , тому, згідно з другим правилом Кірхгофа

Напругу представимо через заряд на конден­саторі та його ємність С.

звідки

Для того, щоб отримати вираз для сили струму, про­ди­фе­рен­ці­ю­ємо останню рівність за часом.

,

або

.

Представимо останню рівність через функцію sin

звідки, а також з закону зміни ЕРС бачимо, що сила струму випереджає ЕРС за фазою на .

Представимо закон зміни сили струму так , де звідки бачимо, що величина має зміст опору, її нази­ва­ють ємнісним опором і позначають .

(237) Розкриємо геометричний спосіб додавання гармонічних ко­ли­вань (век­торна модель додавання гармонічних коливань).

Нехай нам слід додати декілька величин, які змінюються за гар­мо­нічним законом (наприклад, напруг, сил струмів чи величин будь-якої ін­шої природи). Для простоти візьмемо два гармонічні коливання

де – різниця фаз між ци­ми коливаннями.

Під кутом до осі x від­кладемо вектор довжиною , а під кутом – век­тор дов­жиною (мал. 152).

З малюнка бачимо, що про­екція вектора на вісь у – це є величина , проекція век­тора – величина , а про­екція суми цих векторів – сума величин і , тобто

Отже, сумою двох чи більше гармонічних величин є гармонічна величина, амплітуду і фазу якої можна знайти геометрично.

Додавання гармонічних коливань зводиться до додавання век­то­рів, довжини яких дорівнюють амплітудам цих гармонічних ко­ли­вань, а кут між цими векторами дорівнює різниці фаз між цими ко­ли­ваннями. Слід зауважити, що згадані вектори не представляють від­повідні фізичні величини, а представляють коливання фізичних ве­ли­чин, причому як векторних, так і скалярних.

(238) Користуючись векторною моделлю додавання гармонічних коли­вань виведемо закон Ома для ділянки кола змінного струму.

Нехай на ділянці кола є послідовно з’єднані всі три типи опорів – ак­тивний, індуктивний та ємнісний (мал. 153).

Силу струму, яка є однаковою всюди на цій ділянці кола, зобразимо вектором вздовж осі х (мал. 154). Оскільки напруга на актив­ному опорі збігається за фазою з силою стру­му (задача 234), то вектор відкладаємо співнапрямленим з вектором . Напруга на індуктивному опорі ви­пе­реджає силу струму на (задача 235), тому век­тор від­кла­даємо під кутом до вектора в бік випередження, тобто проти го­дин­никової стрілки. Напруга на ємнісному опорі відстає від сили струму на (задача 236) і тому вектор відкладаємо під кутом до вектора за годинниковою стрілкою.

Напруга на ділянці кола U зобразиться вектором, який є сумою векторів та . З малюнка бачимо, що

Згідно з законом Ома, для ділянки кола , тому

звідки

або підставивши та

Ця рівність і є законом Ома для ділянки кола змінного струму. Якщо величину позначити буквою і назвати повним опором, то закон Ома для ділянки кола змінного струму набуде вигляду

Зауважимо, що при побудові векторної діаграми ми зображали не амплітудні значення відповідних величин, як це мало би бути згідно з векторною моделлю гармонічних коливань (задача 237), а ефективні їхні значення. Проте це нічого не змінює, бо ефективні зна­чення відрізняються від амплітудних лише множником .

(239) Установимо умову, за якої сила струму в нерозгалуженому колі змінного струму буде максимальною (умову резонансу напруг).

Із закону Ома для ділянки кола змінного струму маємо, що за умови

тобто за умови рівності ємнісного та індуктивного опорів, сила стру­му на цій ділянці кола буде максимальною

Крім того бачимо, що за умови резонансу напруг повний опір ділянки кола є мінімальним і дорівнює активному опору.

(240) Установимо умову, за якої сила струму в розгалуженому колі змінного струму буде максимальною (умову резонансу струмів).

Розглянемо коло з паралельно з’єднаними R, L і C (мал. 155).

Скористаємось векторною моделлю до­да­ван­ня гармонічних коли­вань.

Оскільки напруга на всіх трьох опорах однакова, то вздовж осі х відкладаємо вектор напруги (мал. 156). Вектор, який представляє силу струму в акти­вному опорі , відкла­да­ємо паралельно до вектора напруги внаслідок збігу їхніх фаз (задача 234). Оскільки сила струму в ємнісному опорі випереджає напру­гу на , то вектор відкладаємо під прямим кутом до вектора U в бік випередження (задача 236). Вектор відкладаємо під прямим кутом в бік відставання (задача 235). Вектор сили струму в нероз­га­лу­же­ній ділянці кола є сумою векторів та . З трикутника на мал. 156 маємо

звідки бачимо, що за умови

сила струму в нерозгалуженій ділянці кола буде мінімальною.

Якщо ж вилучити опір R ( ), то ця сила струму дорівнюватиме нулеві.

(241) Установимо зв'язок середньої потужності змінного струму з ефек­тив­ни­ми значеннями сили струму та напруги.

Згідно з виразом середнього значення функції, знайдемо середнє значення потужності змінного струму за період.

де P – миттєве значення потужності, яке, очевидно, пов’язане з мит­тє­вими значеннями сили струму і напруги такою ж формулою, як і для постійного струму

де – зсув фаз між струмом і напругою, який в колі з різними ти­па­ми опорів не дорівнює ні нулеві, ні , ні (дивись мал. 154 та 156).

Підставивши останній вираз замість підінтегральної функції та інтегруючи, дістанемо

і врахувавши формулу зв’язку між максимальними та ефективними значеннями як сили струму, так і напруги

Як бачимо, потужність змінного струму залежить не тільки від ефек­тивних значень сили струму та напруги, а й від зсуву фаз між ни­ми . Величину ще називають коефіцієнтом потужності, який намага­ються зробити якомога більшим, тобто кут якомога меншим. У про­мисловості мінімальне допустиме значення .

(242) Покажемо, що коефіцієнт трансформації трансформатора дорів­нює від­ношенню кількості витків вторинної та пер­винної обмот­ки.

Якщо до однієї з обмоток трансформатора (первинної) принд­на­ти джерело змінного струму, то цей струм створить змінний магнет­ний потік через площу контурів як первинної, так і вторинної обмо­ток (мал. 157), що, своєю чергою, згідно з законом елек­тро­магнетної індукції, спричинить ви­никнення ЕРС в обидвох обмотках.

З цих двох формул

(1)

Покажемо, що для ненавантаженого трансформатора ЕРС та практично дорівнюють напругам.

За законом Ома для ділянки кола з ЕРС

звідки

Для ненавантаженого трансформатора , а через мале значення сили струму , що спричинене великим індуктивним опором первинної обмотки, тому

З цих рівностей та рівності (1)

Вважаючи потужності в обидвох обмотках однаковими, ді­ста­не­мо з формули потужності для

(243) Покажемо, як принципово можна отримати трифазний стст.­рум і на­пи­ше­мо закон його зміни з часом.

Згадаємо, що однофазну змінну ЕРС отримують обертанням дро­тя­ної рамки чи обмотки в маг­нет­н­ому полі (задача 228).

Трифазну ЕРС можна отримати обер­тан­ням магнетного поля зі ста­лою кутовою швид­кістю відносно неру­хо­мих обмо­ток, розмі­щених одна відносно одної під кутом . Оче­ви­дно, що в кожній з об­мо­ток внаслідок явища електро­магнетної ін­дукції виникне ЕРС, яка зміщена відносно іншої за фазою на (мал. 158).

(244) За допомогою векторної діаграми для трифазних напруг вста­но­ви­мо співвідношення між лінійною та фазною напру­гами.

З мал. 158 бачимо, що трифазний генератор забезпечує ЕРС для трьох кіл змінного струму, які схематично показані на мал. 159 (а).

З’ясуємо, які напруги ми будемо мати, якщо з’єднати проводи А, В і С в один провід, який називають нульовим (мал. 159 (б)).

Напруги між нульовим і кожним із фазних проводів 1, 2 і 3 називаються фазними, а напруги між самими проводами 1, 2 і 3 – лінійними. Установимо зв'язок між амплітудними значеннями ліній­ної та фазної напруг.

Згідно з векторною моделлю додавання гармонічних коливань, і враховуючи, що фа­зи напруг та зміщені одна від­нос­но одної на , зобразимо ці напруги век­то­рами, кут між якими дорівнює (мал. 161).

З трикутника, складеного з двох фаз­них та однієї лінійної напруги, дістанемо зв'язок між їхніми амплітудними значеннями

Очевидно, що такий самий зв'язок буде і між ефективними зна­чен­нями цих напруг.

(245) Доведемо, що магнетне поле створене трифазним змінним стру­мом в трьох соленоїдах розміщених під кутом 120⁰ один до одного еквівалентне постійному полю з індукцією , яке обертається з кутовою швидкістю, що дорівнює циклічній частоті змінного струму.

Для цього знайдемо часову залежність результативного поля. На мал. 161 показані три соленоїди які роз­міщені один до одного під кутом 120⁰. Оскільки зсув фаз між струмами в кож­но­му соленоїді становить 120⁰, то такий са­мий зсув фаз виникає і у відповідних маг­нетних полях тобто

де – магнетні поля ство­рені від­по­відними соленоїдами.

Виберемо систему координат як пока­зано на мал. 162 і знайдемо відповідні проекції цих полів на вісь х.

а також х– проекцію результативного поля

Подібними діями отримаємо

і далі величину результативного поля

звідки бачимо, що величина поля стала, проте напрям вектора безпе­ре­р­вно змінюється, причому так, що

звідки

що означає, що результативний вектор індукції магнетного поля рів­но­мір­но обертається з кутовою швидкістю .

Цю властивість трифазного струму створювати обертове маг­нетне поле використовують в трифазних двигунах, який вигідно ви­різняється тим, що до рухомої його частини (якоря) не треба під­во­ди­ти струм (тому в ньому немає щіток), бо струм в ньому індукується цим обертовим полем. Далі цей індукований струм зазнає з боку обертового поля дії сили Ампера, яка і крутить якір.

Саме через те, що в асинхронних двигунах немає щіток які іскрять їх потужність може бути будь-якою великою.

Поиск по сайту: