Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Тема 2. Закон Біо-Савара-Лапласа



Фізичні системи й прилади

·Нормальний соленоїд – дротяна котушка, висота якої значно більша за радіус витків.

·Плоский соленоїд – дротяна котушка, висота якої значно менша за радіус витків.

·Тангенс-гальванометр – плоский соленоїд, у центрі якого розмі­ще­на маг­нетна стрілка.

·Тороїд – дротяна котушка, вісь якої має форму кола.

 

Постулати

Ø Закон Біо-Савара-Лапласа: кожен елемент струму в будь-якій точці простору, яка розміщена на відстані від нього, створює магнетне поле, ін­дук­ція якого

 

де – радіус-вектор, проведений від еле­мен­та струму до заданої точки, − магнетна стала (мал. 100).

Очевидно, що модуль вектора

 

 

де – кут між векторами і .

Ø Принцип лінійної суперпозиції магнетних полів: якщо в за­даній точці простору діє багато магнетних полів з індукціями , то век­тор індукції в цій точці дорівнює сумі векторів індукції кожного з полів

Задачі

 

(158) Установимо картину силових ліній індукції магнетного поля пря­мо­го, коло­вого та соленоїдного струмів.

Нехай прямий струм спрямований в пло­щину малюнка (мал. 101). У до­ві­льно вибраній точці будь-який елемент цього струму буде створювати, згідно з зако­ном Біо-Савара-Лап­ласа та пра­ви­лом зна­ход­жен­ня напряму век­торного добутку, маг­нет­не поле , яке буде спрямоване вздовж до­тичної до кола з центром, який лежить на струмі, тому, відповідно до означення си­ло­вої ліній індукціїї, ця дотична і є силовою лінією.

Отже, силові лінії індукції поля прямого струму – це концентричні кола нав­коло струму.

Візьмемо будь-яку точку на осі колового струму (мал. 102). Ко­жен елемент струму створить в цій точ­ці, згідно з законом Біо-Савара-Лапласа, еле­ментарне по­ле . Усі вектори ут­ворять ко­нус, вісь якого збігається з віс­сю коло­во­го стру­му, тому су­марний вектор буде спря­мо­ваний вздовж цієї осі. Отже, одна з си­лових лі­ній індукції колового струму збігається з його віссю. Очевидно, що далі від осі сумарний вектор поля буде від­хи­ле­ний від осі, бо різні еле­менти струму даватимуть різний вклад і силова лінія індукції набуде вигляду зам­к­неної кривої.

Звернемо увагу, що картина силових ліній індукції колового струму така ж, як і картина еквіпотенціяльних поверхонь електричного поля ди­поля. Саме тому коловий струм нази­ва­ють магнет­ним диполем.

Щодо поля соленоїда, то воно, будучи резуль­та­том накладання полів ко­лових струмів, буде подіб­ним до поля колового струму, про­те витягнутим вздовж осі соленоїда.

Картини цих магнетних полів можна зробити видимими за допомогою залізних ошурків, які ви­шиковуються уздовж силових ліній. Подібні експерименти підтверджують з’ясовані нами картини силових ліній.

 

(159) Установимо вираз для індукції магнетного поля, створеного в до­ві­льній точці простору прямим нескінченно довгим про­відником зі струмом.

Оскільки магнетна індукція – це век­тор, то нам слід установити як модуль цього вектора, так і його напрям.

Очевидно, що для того, щоб знайти магнетну індукцію в заданій точ­ці, створену цілим провідником, слід додати магнетні індукції, ство­рені в цій точці всіма елементами струму, а, оскільки цих елементів струму є безліч, то ця сума – це не що інше, як інтеграл.

Спочатку з’ясуємо напрям цього сумарного вектора індукції. Згідно з правилом знаходження напряму векторного добутку (пра­вилом правого гвинта), вектор ,створений елементом струму ,є спрямованим у площину малюнка (мал. 103).

З малюнка також видно: якщо вибрати будь-який інший елемент струму, то створений ним вектор матиме іншу величину, проте такий самий напрям, тому і су­мар­ний вектор буде спря­мо­ва­ний у площину ма­люнка.

Оскільки всі вектори мають один і той самий напрям, то модуль вектора дорівнює сумі модулів век­торів , тобто

 

 

З мал. 103 видно, що тому

 

.

 

(160) Встановимо вираз для індукції маг­нет­но­го поля на осі ко­ло­вого струму.

 

Щоб знайти індукцію у будь-якій точці на осі колового струму, слід додати всі елементарні поля , створені всіма еле­мен­та­ми струму цього кільця. З мал. 104 бачимо, що різні елементи стру­му, згідно з зако­ном Біо-Савара-Лапласа, будуть створювати в зада­ній точці осі магнетні поля, однакові за величиною, але різні за нап­рямом.

Якщо переміщувати елемент струму вздовж кільця, то вектор опише конус нав­ко­ло осі у.

Через те, що вектори мають різний напрям, ми не можемо об­чис­лити модуль су­мар­ного вектора як суму мо­дулів векторів , тобто рів­ність , яку ми засто­сували для прямого струму (задача 159), в цьо­му випадку застосована бути не може і правильною є лише векторна рівність

 

 

Розклавши вектор на складові по осях х та у, останню рівність представимо

 

Перший інтеграл – це сума проекцій век­то­ра на вісь х. З малюнка бачимо, що для кож­ної такої проекції є протилежна до неї, тому цей інтеграл дорівнює нулеві і

 

 

що означає, що сумарний вектор спря­мо­ваний вздовж осі у, тобто вздовж осі кільця. Модуль цього вектора

 

 

бо модуль вектора дорівнює одиниці. З малюнка бачимо, що тому

 

 

Підставивши сюди і і винісши незалежні від змін­ної інтегрування величини за знак інтеграла, дістанемо

 

 

(161) Установимо вираз для індукції маг­нетного поля на осі плос­кого соленоїда.

Оскільки відстань від заданої точки осі плоского соленоїда до будь-якого витка (кільця) плоского соле­но­їда є практично од­наковою, то індук­цію поля в цій точці мо­же­мо роз­гля­да­ти як індукцію, створену N кіль­цевими струмами, де N − кількість витків плос­кого соленоїда (мал. 105). Тому

 

 

а спрямований вектор , як і у випад­ку кільцевого струму, – вздовж осі. З ос­тан­ньої формули для поля в центрі соленоїда, тобто за умови h=0:

 

 

(162) Установимо вираз для індукції магнетного поля на середині осі нор­ма­ль­ного соленоїда.

Для цього в соленоїді виділимо вузьку смужку витків (мал. 106) ви­со­тою dh і введемо поняття густоти витків n як кількості витків на одиницю довжини соленоїда, тобто

 

Індукцію поля в центрі соленоїда бу­де­мо шукати як суму індукцій, ство­ре­них плос­кими соленоїдами висотою , які ма­ють витків, а позаяк всі векто­ри індукції, створені цими плос­ки­ми со­ле­ноїдами, співнапрямлені, то мо­дуль су­марного вектора дорівнює сумі моду­лів векторів суми, тобто

 

 

де – індукція поля, створена еле­мен­тар­ним плоским соленоїдом, яка, згідно з отри­маним раніше результатом (задача 161) є

 

 

Застосувавши означення густоти витків, дістанемо

 

 

і

 

 

де всі незалежні від h величини винесені за знак інтеграла.

Щоб простіше обчислити цей інтеграл, перейдемо від лінійної змінної h до змінної φ.

З мал. 106 бачимо, що де звідки Крім того,

Підставивши дві останні рівності в підінтегральний вираз дістанемо

 

 

(163) Установимо вираз для індукції магнетного поля, створеного точ­ко­вим зарядом , який рухається зі швидкістю .

Розглянемо струм, ство­ре­ний N точковими зарядами ве­личиною q. Згідно з за­ко­ном Біо-Савара-Лапласа, він ство­рює поле (мал. 105)

 

.

 

Представивши силу стру­му, згідно з її означенням, ді­станемо

 

 

де − швидкість за­ря­дів . Заряд представимо як і, по­ді­лив­ши лі­ву й пра­ву частини рівності на , дістанемо

 

,

 

де – індукція, створена одним зарядом. Тоді

 

 

З малюнка бачимо, що напрями векторів i підкоряються пра­ви­лу векторного добутку, тому

 

 

Підставивши сюди радіус-вектор з формули для напруженості елек­тричного поля точкового заряду, а саме

 

 

дістанемо

 

 

де

 

(164) Знайдемо спосіб визначення гори­зон­та­ль­ної складової маг­нет­но­го поля Землі за до­помогою тангенс-галь­ва­нометра.

Установимо площину плоского соле­но­їда тан­генс-гальванометра в площині маг­нет­ного меридіана, тобто в площині, яка про­хо­дить через вектор гори­зон­та­ль­ної складової магнетного по­ля Землі і це­нтр Землі. На напрям магнетного ме­ри­ді­ана вкаже маг­нет­на стрілка, яка вста­нов­ле­на в центрі плоского со­леноїда. Якщо включити струм І через со­леноїд, то він створить своє магнетне поле (мал. 106 а) і магнетна стрілка зорієн­ту­ється вздовж вектора . По­мі­ряв­ши кут між напрямом магнетної стрілки і пло­щи­ною соленоїда і застосувавши фор­му­лу для індукції поля в центрі плоского соле­ноїда (задача 161) звекторної діа­гра­ми (мал. 106 (б)) знайдемо гори­зон­та­льну скла­до­ву магнетного поля Землі.

 

 

(165) На основі законів Ампера та Біо-Савара-Лапласа доведемо, що два паралельні проводи зі струмами одного напряму при­тя­га­ють­ся, а протилежних – відштовхуються.

Один провід будемо трактувати як джерело магнетного поля, а другий – як такий, що розміщений в цьому полі (мал. 107).

Виберемо на першому проводі еле­мент струму і знайдемо інін.­дукцію поля ,створену ним в од­ній з точок простору, де і є другий провід. Згідно з законом Біо-Са­ва­ра-Лапласа і правилом виз­на­чен­ня нап­ряму векторного добутку (правилом правого гвинта), він спря­мо­ваний у пло­щину ма­люн­ка. Це поле, згідно з законом Ампера, діє на елемент стру­му з силою , яка, згідно з цим же правилом правого гвинта, спрямована в бік першого проводу. Всі інші елементи струму першого проводу в цій точці створюють таке ж поле за напрямом, тому викликають силу Ампера того ж напряму, які, до­да­ю­чись, утворюють сумарний вектор сили притягання до першого проводу. В усіх інших точках другого проводу ситуація така сама.

Якщо проводи поміняти ролями, тобто другий вважати джерелом по­ля, а перший як такий, який розміщений в цьому полі, то, оче­ви­дно, нічого не зміниться: перший провід буде з такою ж силою при­тя­гатися до дру­го­го, тобто між проводами виникне взаємна сила притя­гання.

Аналогічними міркуваннями та побудовами можна показати, що у випадку струмів протилежних напрямів між проводами виникне така ж сила відштовхування.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.