Проверка гипотезы об однородности двух ГС в случае связанных выборок

Постановка задачи. Пусть выборка из ГС I , - выборка из ГС II и объёмы выборок одинаковы равны n. Считается, что выборки связаны парами . (*)

Пары независимы друг от друга, но и в парах связаны некоторым образом.

Гипотеза об однородности : законы распределения ГС I и ГС II одинаковы.

Практически важная интерпретация задачи.

На объекты ГС I оказывается некоторое воздействие, которое может оказать влияние на распределение признака Х объектов ГС I. После воздействия получаем ГС II. Изменилось ли распределение признака Х после воздействия или оно осталось таким же, как было в ГС I ? Иными словами, произвело ли воздействие наблюдаемый эффект на объекты ГС I ?

Гипотеза - воздействие не имело эффекта.

Гипотеза - проявился эффект воздействия.

Для проверки из ГС I производят выбору n объектов, у которых измеряют величину Х до воздействия, получая выборку , и, после воздействия, получая выборку . Отсутствие или наличие эффекта воздействия, то есть гипотеза , проверяется по парам (*).

Проверка гипотезы по классическому критерию знаков

1. Предварительная обработка выборок.

Вычисляют разности . Если , то от i –ой пары отказываются, считая, что это – исключение, а не закономерность. Число таких нулей не должно существенно уменьшать n.

2. Статистика критерия.

- число тех , которые больше 0 (число плюсов). Число минусов

Основа статистики. Если эффект воздействия не проявляется, то отклонения от при случайны и должно примерно совпадать с . Поэтому, если верна, то и ( математическое ожидание биномиального распределения с р = ½). Гипотеза , состоящая фактически и том, что , может быть уточнена, то есть

: или

- эффект воздействия положительный или отрицательный. Это уточнение гипотезы проводится после нахождения выборочного значения статистики критерия и определяет выбор формы критерия (односторонний или двусторонний).

3. По заданному УЗ α по таблицам критических значений критерия знаков находят критические значения критерия:

для двустороннего критерия - и , причём ;

для левостороннего критерия - ;

для правостороннего критерия - .

4. По выборкам находят выборочное значение статистики критерия. Если попадает в допустимую область, то принимается. В противном случае отвергается.

Замечание. При больших n критерий знаков становится биномиальным критерием и при верной (p = 1/2) статистика имеет распределение, близкое к стандартному нормальному распределению N(0; 1). В этом случае при использовании двустороннего критерия принимается, если - квантиль распределения N(0; 1).

Критерий знаков прост в использовании, но не достаточно эффективен, так как использует только знаки отклонений и не учитывает величины отклонений, то есть не полностью использует информацию, содержащуюся в выборках.

Поиск по сайту: