 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Правила недесятичной арифметики
Рассмотрим правила и примеры выполнения арифметических операций с числами, записанными в двоичной системе счисления. Сложение трех однозначных двоичных чисел производится по следующим правилам: (0)2 + (0)2 + (0)2 = (0)2, (1)2 + (0)2 + (0)2 = (1)2, (0)2+ (1)2 + (0)2 = (1)2, (0)2 + (0)2 + (1)2 =(1)2 (1)2 + (1)2 + (0)2 = (10)2, (1)2 + (0)2 + (1)2 = (10)2, (0)2+ (1)2 + (1)2 = (10)2, (1)2 + (1)2 + (1)2 =(11)2. На основании этих равенств производится сложение многозначных двоичных чисел. Рассмотрим следующий пример:
Сложение начинают с разряда единиц (1)2 + (1)2 = (10)2. Ноль записывают под чертой, а единицу переносят в следующий разряд — разряд двоек (надписывают сверху). Переходят к разряду двоек: (1)2 + (0)2 + (1)2 = (10)2. Ноль записывают, а единицу переносят в разряд четверок. Переходят к разряду четверок: (1)2 + (1)2 + (0)2 = (10)2. Ноль записывают, а единицу переносят в разряд восьмерок. Так, переходя от разряда к разряду (справа налево), постепенно получают все цифры суммы. В десятичной системе счисления указанный пример имеет вид: (341)10 + (П5)10 = (456)10. При сложении двух восьмеричных однозначных чисел пользуются табл. 1.
Пример сложения двух восьмеричных чисел:
Сложение начинают с разряда единиц: (7)8 + (5)8 = (14)8. Записывают цифру 4 под чертой, а единицу переносят в следующий разряд — разряд восьмерок. Переходят к разряду восьмерок: (1)8 + (4)8 + (4)8 = (5)8 + (4)8 = (11)8. Одну единицу записывают, а другую переносят в следующий разряд. Переходя последовательно от разряда к разряду, определяют сумму (12514)8. Умножение двоичных и восьмеричных чисел производится аналогично умножению десятичных чисел. При этом пользуются соответствующими таблицами умножения чисел в двоичной и восьмеричной системах счисления. Вычитание двоичных чисел производится так же, как и десятичных, т.е. последовательно по разрядам от младшего к старшему. Если из меньшей цифры в данном разряде вычитается большая, то производится заем единицы из следующего старшего разряда, т.е. цифра этого старшего разряда становится на единицу меньше. В вычислительной технике операции вычитания обычно заменяются операциями сложения. Рассмотрим пример такой замены. Вместо того чтобы из числа 85 вычитать число 37, к числу 85 прибавляется число 63 = 100 - 37 (дополнительное к 37) и от результата 148 отнимается единица в старшем разряде. Получается число 48, которое является искомой разностью. Аналогичным образом можно и в двоичной системе заменить вычитание сложением с использованием дополнительного кода. Саму операцию вычитания можно представить как сложение с отрицательным числом. В вычислительной технике при использовании двоичной системы счисления крайний левый разряд служит для записи знака числа. Для положительного числа в этот разряд записывается 0, а для отрицательного — 1. Записанные таким образом двоичные числа будем называть записанными в прямом коде. Рассмотрим составление дополнительного кода к прямому коду отрицательного числа. Дополнительный код отрицательных двоичных чисел формируется по следующему правилу. Сначала цифры всех разрядов кроме знакового инвертируют (вместо 0 записывают 1, а вместо 1 — 0) и в младший разряд добавляют единицу. Если в младшем разряде уже стоит единица, то при этом приходится изменять цифру в следующем, а, возможно, и в более старших разрядах. Например, при вычитании из числа 10110 числа 01101 уменьшаемое представляют как положительное число в прямом коде 010110, а вычитаемое — как отрицательное число, прямой код которого 101101 (полужирным шрифтом выделены цифры знакового разряда). Определяют дополнительный код вычитаемого. Сначала инвертируют цифры всех разрядов, кроме знакового (результат 110010), затем прибавляют единицу в младший разряд (110011). Выполняют операцию сложения уменьшаемого (в прямом коде) с вычитаемым (в дополнительном коде): 010110 + 110011 001001. Число 01001 и есть результат вычитания, полученный в прямом коде. При сложении цифры знаковых разрядов складывают с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. В данном примере в результате вычитания получилось положительное число, поскольку в знаковом разряде стоит 0. Это естественно, так как уменьшаемое больше вычитаемого. Если же из меньшего числа вычитать большее, то получается отрицательное число. Убедимся в этом на примере, из числа 01101 (в прямом коде 001101) вычтем 10110. Для этого определим дополнительный код отрицательного числа 110110: сначала инвертируем цифры всех разрядов, кроме знакового (101001), потом добавим единицу в младший разряд (101010). Выполним сложение уменьшаемого в прямом коде и вычитаемого в дополнительном коде: 001101 + 101010 110111. Результат есть отрицательное число (1 в знаковом разряде) и выражен он в дополнительном коде. Для получения его прямого кода убавим единицу в младшем разряде (110110), после чего инвертируем цифры всех разрядов, кроме знакового (101001). Правильность вычислений проверим на десятичных числах: (10110)2 = (22)10; (01101)2 = (13)10; (01001)2 = (9)10; 22 - 13 = 9; 13 - 22 = -9. При умножении двоичных многоразрядных чисел с учетом их знаков необходимо выполнить две операции: определить знак произведения и найти его абсолютную величину. Знаковый разряд может быть получен суммированием цифр знаковых разрядов сомножителей без формирования разряда переноса. При несовпадении складываемых цифр получается 1, что соответствует знаку произведения двух сомножителей с разными знаками. Абсолютная величина произведения определяется перемножением чисел без учета их знаков. Перемножение многоразрядных двоичных чисел производится с помощью таблицы. При умножении двух двоичных чисел множимое (первый сомножитель) последовательно умножают на каждую цифру множителя (второго сомножителя), начиная либо с младшего, либо со старшего разряда, и для учета веса соответствующей цифры множителя сдвигают либо влево (при начале умножения с младшего разряда множителя), либо вправо (при начале со старшего разряда) на такое число разрядов, на какое соответствующий разряд множителя сдвинут относительно младшего или старшего разряда. При умножении вручную на бумаге мы привыкли начинать с младшей цифры второго сомножителя. При этом результат умножения на цифру следующего разряда записываем левее предыдущего результата на один разряд, т.е. тем самым производим сдвиг влево. Результаты умножения первого сомножителя на каждую цифру второго сомножителя называют частичными произведениями или промежуточными суммами. Получающиеся в результате умножения и сдвига частичные произведения после суммирования дают полное произведение. Особенность умножения двоичных чисел состоит в том, что частичное произведение может быть либо сдвинутым на соответствующее число разрядов множимым, если соответствующая цифра множителя равна 1, либо нулем, если соответствующая цифра множителя равна 0.
Рассмотрим пример:
В цифровых устройствах процессу суммирования частичных произведений придают последовательный характер: формируется одно из частичных произведений, к нему с соответствующим сдвигом прибавляется следующее частичное произведение, к полученной сумме с соответствующим сдвигом прибавляется очередное частичное произведение и так далее, пока не окажутся просуммированными все частичные произведения и не будет получено полное произведение. Можно привести следующее обоснование тому, что умножение сводится к сдвигу и сложению. Пусть надо перемножить 101101 и 101101. Запишем это в такой форме: 101101 • 101101 = 101101(100000 + 1000 + 100 + 1) = 10110100000 + 101101000 + 10110100 + 101101. Таким образом, умножение на 100000 свелось к приписыванию пяти нулей (т.е. сдвигу на пять разрядов влево), на 1000 — трех (сдвиг на три разряда), на 100 — двух (сдвиг на два разряда). Иными словами, из первого сомножителя формируется столько частичных слагаемых, сколько единиц имеется во втором сомножителе. Сдвиг производится на столько разрядов влево, на каком месте (в каком разряде) находится соответствующая единица, минус один. Например, если единица есть в шестом разряде, сдвиг производится на пять разрядов, а если в четвертом, то на три. Если единица в первом разряде, то никакого сдвига делать не надо, в качестве одного из слагаемых берется сам первый сомножитель. Затем все полученные частные слагаемые складываются. Операция деления в ЭВМ может быть сведена к нескольким операциям вычитаний и сдвигов. Результат деления (частное) определяется как число вычитаний с учетом сдвигов. Например, деление 132 : 11 = 12 можно осуществить в виде такой последовательности вычитаний и сдвигов:
_ 132 110 — первое вычитание 220 — сдвиг 110 — первое вычитание 110 — второе вычитание Ответ: 12 (одно вычитание до сдвига и два после). Замена вычитания сложением остатка с дополнительным кодом вычитаемого сводит операцию деления к последовательности трех простейших операций. Деление является весьма трудоемкой операцией. В ряде случаев в цифровых устройствах оно заменяется нахождением обратной величины делителя по специальной подпрограмме (на основе какой-либо быстро сходящейся итерационной формулы) и последующим умножением делимого на найденную обратную величину.
Поиск по сайту: |