Пример 1. Несвободная система с двумя степенями свободы.Дано: Полый цилиндр 2 массой m2 (рис. 6.4) скользит по основанию 1 массой m1, способному вращаться вокруг неподвижного цилиндрического шарнира О. Основание удерживается спиральной пружиной с крутильной жесткостью Cj. В начальном положении механизм находится в состоянии статического равновесия и пружина деформирована. Введем неподвижную систему координат OXYZ так, чтобы ось OX была горизонтальна, и связанную с основанием систему координат OX1Y1Z1, ее ось OX1 параллельна оси цилиндра и направляющим основания, по которым скользит цилиндр. Центр масс основания O1 в системе координат OX1Y1Z1 имеет координаты x1O и y1O. Начальное положение Oн центра масс цилиндра O2 определяется координатами x2O и y2O точки Oн в системе координат OX1Y1Z1.
Рис. 6.4
В начальный момент времени к внутренней поверхности дна цилиндра прикладывается нагрузка , определяемая по формуле (6.1). При этом цилиндр начинает двигаться по основанию, вызывая вращение последнего вокруг оси шарнира OZ. Движение цилиндра тормозится реакцией тормозного устройства 3, приложенной к внешней поверхности дна цилиндра , определяемой по формуле (6.2).
Коэффициент трения скольжения при движении цилиндра по основанию f = 0,12. Моменты инерции основания и цилиндра относительно осей O1z1 и O2z2 равны J1 и J2 соответственно. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.
Указание. В качестве обобщенных координат выбрать угол поворота j основания, отсчитанный от горизонтали (в начальный момент j = j0), и координату S центра масс цилиндра на направляющей основания, отсчитанную от его начального положения. Исходные данные:
кг, кг,
кг∙м2, кг∙м2,
м, м,
м, м,
Н∙м/рад , .
Решение.Система имеет две степени свободы k = s , в качестве обобщенных координат выбираем:
1) угол поворота j основания вместе с цилиндром , отсчитанный от горизонтали (в начальный момент j = j0), q1=j;
2) координату S движения центра масс цилиндра 2 на направляющей основания 1, отсчитанную от его начального положения, q2=S.
Таким образом, обобщенные координаты: q1=j, q2=S, обобщенные скорости: .
Запишем уравнения Лагранжа второго рода
.
Кинетическая энергия рассматриваемой механической системы относительно неподвижной системы отсчета: Т=Т1+Т2. Представим ее как функцию времени t, обобщенных координат q1=j, q2=S и обобщенных скоростей , а именно:
T = T(q1=j, q2=S, , t).
Кинетическая энергия основания, совершающего вращательное движение относительно оси OZ,
Кинетическая энергия цилиндра, совершающего плоско-параллельное движение относительно неподвижной системы отсчета,
Формулы преобразования координат и поворотная матрица относительно оси OZ в соответствии с формулами (3.18) и (3.19) имеют следующий вид:
– для центра масс основания
– для центра масс цилиндра
Матрица скоростей:
После приведения подобных членов относительно обобщенных скоростей, получаем T= T1+T2,
Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют следующий вид:
– для q1
– для q2
Вычислим производные от кинетической энергии системы:
– для q1 =φ ,
окончательно
где
Для q2 =S ,
.
В левой части уравнений Лагранжа, как правило, оставляют слагаемые со вторыми производными от обобщенных координат. Все остальные переносятся в правую часть. Таким образом, обозначив слагаемое в последнем выражении как - окончательно получаем уравнение Лагранжа второго рода
.
Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы i = s = 2 , , отвечающие выбранным обобщенным координатам, целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации не зависят друг от друга. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.15) получаем:
. (6.6)
Для определения обобщенной силы дадим системе такое приращение, что 1) , и найдем виртуальную работу от всех заданных активных сил:
,
, ,
Сравнивая множитель (в квадратных скобках) в выражении виртуальной работы перед вариацией dj с формулой (6.6), получаем выражение для первой обобщенной силы
Определяя , будем полагать, что dS ¹ 0,а для угла jповорота цилиндра 2, будем считать dj =0 (j =const), т.е.
2)dS ¹ 0, dj =0 (j = const); .
Сравнивая множитель (в квадратных скобках) в выражении полученной виртуальной работы перед вариацией dS с формулой (6.6), получаем выражение для второй обобщенной силы
.
Составим дифференциальные уравнения в виде матриц
.
Для
Для
окончательно
1)
2) ,
где , если , , если ,
т.е. ;
;
.
Пример 2. Несвободная система с тремя степенями свободы.Дано.Рекомендуемые значения физических величин (рис. 6.5): m1 = 3 700 кг – масса тела; = 10 300 кг·м2 – момент инерции относительно оси О1z1; l1 = 3,8 м – расстояние от точки С до точки К; координаты центра масс тела О1в системе координат СX1Y1Z1: х10 = 3,8 м , y10 = 0,8 м, y20 = 1,0 м – расстояние от линии действия силы до оси СХ1 ; С1 = 2,0·106 Н/м – жесткость пружины КМ; С2 = 2,0·107 Н/м – жесткость пружины CD ; С3 = 2,0·107 Н/м – жесткость пружины СЕ; Сj = 2,0·106 Нм/рад – жесткость спиральной пружины; j0 = 6°, 30° – начальный угол возвышения основания.
Рис. 6.5
За обобщённые координаты приняты следующие параметры:
q1 = xC , q2 = yC, q3 = j. q1 = xC – перемещение шарнира С по горизонтальной оси, отсчитанное от положения статического равновесия пружины CD; q2 = yC– перемещение шарнира С вдоль вертикальной оси, отсчитанное от положения статического равновесия пружины CЕ; q3 = j – угол поворота тела, отсчитанный от горизонтали СХ1.
Кинетическая энергия рассматриваемого тела, совершающего плоскопараллельное движение относительно неподвижной системы отсчета и связанной с ней системой координат XOYZ:
.
Формулы преобразования координат от СX1Y1Z1 к XOYZ и поворотная матрица относительно оси СZ в соответствии с формулами (3.18) и (3.19) для центра масс тела 1 имеют следующий вид:
Матрица скоростей:
.
Квадрат абсолютной скорости центра масс тела в обобщённых координатах:
Кинетическую энергию тела представим как функцию времени t, обобщенных координат q1 = xC , q2 = yC, q3 = j и обобщенных скоростей :
T = T (q1=xC, q2 = yC, q3 = j, .
Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид:
– для ;
– для ;
– для .
Частные производные по обобщённым координатам:
;
Частные производные по обобщённым скоростям:
Полные производные по времени:
Запишем окончательно левые части уравнений Лагранжа второго рода, оставив только слагаемые со вторыми производными от обобщенных координат. Все остальные слагаемые перенесем в правую часть уравнения, обозначив их как :
–
где
–
где
–
, где .
Для нахождения обобщенных сил рассмотрим приложенные к системе силы. Определим первоначальные сжатия пружин КМ и СЕ в положении статического равновесия.
Уравнение равенства моментов при t=0 относительно оси CZ1
,
где - момент силы тяжести в момент времени t=0; – момент силы упругости пружины КМ. Отсюда
- первоначальное сжатие пружины КМ.
Уравнение равенства сил по оси OY
,
где – сила упругости пружины КМ; – сила упругости пружины СЕ, отсюда
- первоначальное сжатие пружины СЕ
Силы, действующие на тело в текущий момент времени t:
– сила тяжести;
– переменная нагрузка, прикладываемая к телу; где Р1 = 2,37·106 Н – максимальная нагрузка; а1 = 6,68·1010 Н/с2 – коэффициент; t1 = 0,005 с – временной параметр;
– сила упругости пружины КМ,
где – координата точки К в момент времени t ; – координата точки К в начальный момент времени; – константа;
– сила упругости пружины CD ; –
сила упругости пружины СЕ.
Моменты, действующие на тело, относительно оси CZ1 :
– момент силы тяжести;
– момент переменной нагрузки;
– момент силы упругости пружины КМ;
– момент спиральной пружины.
Виртуальная работа согласно (2.15)
. (6.7)
Так как обобщённые координаты – независимые друг от друга параметры, то и их вариации тоже независимы. Поэтому, используя принцип замораживания, находим виртуальные работы, соответствующие виртуальным перемещениям поочередно:
1) ,
;
2) , (6.8)
;
3) ,
.
Сравнивая множители в (6.7) перед вариациями обобщённых координат и в формуле (6.8), находим обобщённые силы, соответствующие обобщённым координатам:
;
;
Окончательный вид уравнений Лагранжа второго рода или дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы в обобщенных координатах:
–
,
где
–
где
–
где ,
или в матричной форме ,
где – инерционная матрица, , если , , если ,
,
=
– матрица-столбец обобщенных сил;
– матрица-стол-бец слагаемых, перенесенных из левых частей уравнений Лагранжа, не содержащих обобщенных ускорений.
Решение системы уравнений Лагранжа второго рода, описывающих движение указанной механической системы (рис. 6.5), на интервале времени от t = 0 до t = 0,01 с выполнено в системе Mathcad 11. Распечатка результатов расчёта в системе Mathcad 11 для начального угла j0 = 30° приведена на рис. 6.6, а для начального угла j0 = 6° на рис. 6.7.
Рис. 6.6
Рис. 6.6. Окончание
Пример 3. Несвободная система с тремя степенями свободы.Дано. Полый цилиндр 2 массой m2 (рис. 6.8) скользит по основанию 1 массой m1, опирающемуся на цилиндрический шарнир О и поддерживаемому вертикальной пружиной КМ. Жесткость пружины C1, длина недеформированной пружины l2, расстояние от шарнира О до точки К опоры пружины l1. Коэффициент трения цилиндра об основание f = 0,12. K шарниру C прикреплена горизонтальная пружина CD жесткостью C2. В начальном положении пружина CD не деформирована, а пружина КМ поддерживает систему в положении статического равновесия.
Рис.6.8
Введем неподвижную систему координат OXYZ, ось OX которой горизонтальна, и связанную с основанием систему координат OX1Y1Z1, ее ось OX1 параллельна направляющей основания, по которой скользит цилиндр. Положение центра масс O1 основания задается координатами x1O и y1O точки O1 в системе координат OX1Y1Z1, причем y1O = 0,6 м. Начальное положение цилиндра на основании определяется начальными значениями координат x2O и y2O точки O2 в системе координат OX1Y1Z1. Точка Oн совпадает с начальными положением центра масс цилиндра O2.
В начальный момент времени к внутренней поверхности дна цилиндра прикладывается переменная нагрузка P(t), определяемая по зависимости (6.1). При этом цилиндр 2 начинает скользить по основанию 1, вызывая вращение последнего вокруг оси шарнира OZ. Движение цилиндра тормозится реакцией R(t) тормозного устройства 3, приложенной к внешней поверхности дна цилиндра. Величина реакции определяется по формуле (6.2). Моменты инерции основания и цилиндра относительно осей O1z1 и O2z2 равны J1 и J2 соответственно.
Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.
Указание. В качестве обобщенных координат выбрать: 1) перемещение точки C по горизонтальной оси , отсчитанное от положения статического равновесия пружины CD; 2) угол поворота j основания , отсчитанный от горизонтали, и 3) перемещение S центра масс цилиндра 2 по направляющей основания 1 , отсчитанное от его начального положения Oн. Начальное значение j = j0. Длину недеформированной пружины l2 определить из условия статического равновесия системы в начальный момент времени. Рекомендуемые значения величин приведены в табл. 6.3.
Исходные данные: m1 – масса основания; m2 – масса цилиндра. Число степеней свободы: i =s = 3. За обобщенные координаты приняты следующие параметры: ; ; . Обобщенные скорости: ; ; . В рассматриваемую механическую систему входят: основание 1 и цилиндр 2, совершающие плоскопараллельное движение относительно неподвижной системы координат OXYZ,
; ;
; , i=1,2,
где
Координаты центра массы основания в матричной форме:
(1), или
, где , т.е.
Скорости центра массы основания в матричной форме:
, или
;
;
Кинетическая энергия основания в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей:
Координаты центра массы цилиндра в матричной форме:
.
Скорости центра массы цилиндра 2 в матричной форме:
, или
;
.
их квадраты:
Кинетическая энергия цилиндра в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей:
Кинетическая энергия системы
Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы:
Для :
;
окончательно левая часть уравнения по
;
Для :
окончательно левая часть уравнения по
;
Для :
окончательно
Перепишем уравнения Лагранжа второго рода, оставив в левой части только слагаемые со вторыми производными от обобщенных координат. Все остальные слагаемые перенесем в правую часть уравнения, обозначив их как
Уравнения Лагранжа второго рода в матричной форме:
,
где – инерционная матрица, , если , , если ,
или ,
инерционные коэффициенты:
;
;
;
;
.
Виртуальная работа сил, действующих на рассматриваемую систему:
;
.
Так как обобщённые координаты - независимые друг от друга параметры, то и их вариации тоже независимы. Поэтому, используя принцип замораживания, находим виртуальные работы, соответствующие виртуальным перемещениям поочередно:
1) ,
;
2) ,
3) ,
.
Сравнивая множители в выражениях виртуальных работ перед вариациями соответствующих обобщённых координат и в формуле (6.7), находим обобщённые силы, соответствующие обобщённым координатам: