Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы

а б

Рис. 3.11

2. Поворота системы вокруг третьей из коорди-натных осей на уголнутацииθ, т.е. [x₁] ®[x₂],
® , при этом = (рис. 3.7,3.9, 3.11,б).

Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,б, при этом таковы:

x₁ = x₂ cos q - y₂ sin q + 0,

y₁ = x₂ sin q + y₂ cos q + 0,

z₁ = 0 + 0 + z ₂,

или в матричной форме

[x₁] = {a_3q } ^т [x₂], (3.18)

где матрица {a_3q } ^т = (3.19)

описывает поворот вокруг оси 0z₁ на угол нутации q.

3. Поворота системы вокруг второй из координатных осей на уголротации (собственного вращения ) φ,т.е.[x₂]®[x]_п(рис. 3.7, 3.9 … 3.11,а), ® Cxyz,поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,а, имеют вид

x⁽²⁾ = x cos j + 0 + z sin j ,

y⁽²⁾ = 0 + y + 0 ,

z⁽²⁾ = - x sin j + 0 + z cos j ,

или в матричной форме

[x₂ ] = { a_2j }^т [x], (3.20)

поворотная матрица { a_2j }^т аналогична (3.17) {a_2y} ^т:

{a_2φ} ^т = . (3.21)

Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем

[X] ={a_2y} ^т {a_3q} ^т [x⁽²⁾] , (3.22)

где промежуточная поворотная матрица {a_2y,3q }^т находится как произведение двух матриц поворота,

{ a_2y,3q }^т = { a_2y}^т {a_3q } ^т =

= = (3.23)

= .

Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20):

[X] ={a_2y} ^т {a_3q} ^т {a_2j }^т [x]. (3.24)

Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21):

{a_y,q,j } ^т = = { a_2y} ^т { a_3q } ^т { a_2j } ^т =

= =(3.25)

При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.

3.4. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение.
Кинематические уравнения Эйлера

Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:

–вектор угловой скорости прецессии;

– вектор угловой скорости нутации;

– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).

Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис. 3.8, 3.12). Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:

. (3.26)

Ось, совпадающая с вектором , является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяетсяпроизводной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением тела:

, (3.27)

или , где – составляющая , направленная вдоль мгновенной оси вращения и характеризующая изменение по величине; – составляющая , перпендикулярная вектору и характеризующая изменение по направлению ( ). Вектор мгновенного углового ускорения будем откладывать от неподвижной точки О тела (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Алгебраические величины проекций вектора (3.26) на оси подвижной системы координат Oxyz (рис. 3.8), единичные орты которой соответственно,

. (3.28)

Согласно (3.26),

.

Разложение единичного вектора по базису [x]_п, как следует из формул (3.15) и (3.25), таково:

. (3.29)

Единичный вектор , как следует из (3.20) и (3.21), можно представить в виде

. (3.30)

Подставляя (3.29) , (3.30) в соотношение (3.26), получаем

Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны

или (3.31)

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела , углами Эйлера и их первыми производными по времени.