Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат [X]н и [x]п имеет вид
, (3.14)
или , (3.15)
где ,,-углы Эйлера; - матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов ,задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [X]н)к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [x]п ), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице строк на столбцы. Выражение находим из формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [X]н® [x1] ®[x2]®[x]п, из которых две системы [x1] и [x2] промежуточные.
Переход от осей системы[X]н к осям системы [x1] осуществляется поворотом на угол прецессии ψвокруг неподвижной OY – оси прецессии системы [X]н (рис. 3.9 … 3.11).
Переход от осей системы[x1] к осям системы[x2]осуществляется поворотом на уголнутацииθ вокруг оси системы [x1](рис. 3.5 … 3.11,б).
Рис. 3.9
Переход от осей системы [x2]к осям системы[x]п– поворотом на уголротации (собственного вращения ) φвокруг оси системы[x2].
а б в
Рис. 3.10
Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]н) к системе Оxyz ([x]п), выполненный с помощью трех поворотов:
1. Поворота системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии ψ, т.е. [X]н®[x1], ОXYZ ® , причем (рис. 3.9 … 3.11,а). Координаты систем координат ОXYZ и (рис. 3.11,a) связаны соотношениями
X = x1 cos y + 0 + z1sin y ,
Y = 0 + y1+ 0 ,
Z = - x1 sin y + 0 + z1cos y ,
или в матричной форме
[X] ={a2y} т [x1], (3.16)
где поворотная матрица {a2y} т = (3.17)
описывает поворот вокруг второй оси ОY на угол прецессии ψ .
а б
Рис. 3.11
2. Поворота системы вокруг третьей из коорди-натных осей на уголнутацииθ, т.е. [x1] ®[x2], ® , при этом = (рис. 3.7,3.9, 3.11,б).
Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,б, при этом таковы:
x1= x2 cos q - y2 sin q + 0,
y1= x2sin q + y2 cos q + 0,
z1 = 0 + 0 + z2,
или в матричной форме
[x1] = {a3q } т [x2], (3.18)
где матрица {a3q } т = (3.19)
описывает поворот вокруг оси 0z1 на угол нутации q.
3. Поворота системы вокруг второй из координатных осей на уголротации (собственного вращения ) φ,т.е.[x2]®[x]п(рис. 3.7, 3.9 … 3.11,а), ® Cxyz,поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,а, имеют вид
Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем
[X] ={a2y} т {a3q} т [x(2)] , (3.22)
где промежуточная поворотная матрица {a2y,3q }т находится как произведение двух матриц поворота,
{ a2y,3q }т = { a2y}т {a3q } т =
= = (3.23)
= .
Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20):
[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j }т [x]. (3.24)
Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21):
{ay,q,j } т = = { a2y} т { a3q } т { a2j } т =
= =(3.25)
При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.
3.4. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение. Кинематические уравнения Эйлера
Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:
–вектор угловой скорости прецессии;
– вектор угловой скорости нутации;
– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).
Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис. 3.8, 3.12). Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:
. (3.26)
Рис. 3.12
Ось, совпадающая с вектором , является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.
Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяетсяпроизводной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением тела:
, (3.27)
или , где – составляющая , направленная вдоль мгновенной оси вращения и характеризующая изменение по величине; – составляющая , перпендикулярная вектору и характеризующая изменение по направлению ( ). Вектор мгновенного углового ускорения будем откладывать от неподвижной точки О тела (рис. 3.13).
Рис. 3.13
Алгебраические величины проекций вектора (3.26) на оси подвижной системы координат Oxyz (рис. 3.8), единичные орты которой соответственно,
. (3.28)
Согласно (3.26),
.
Разложение единичного вектора по базису [x]п, как следует из формул (3.15) и (3.25), таково:
. (3.29)
Единичный вектор , как следует из (3.20) и (3.21), можно представить в виде
. (3.30)
Подставляя (3.29) , (3.30) в соотношение (3.26), получаем
Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны
или (3.31)
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела , углами Эйлера и их первыми производными по времени.