Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы



 

Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат [X]н и [x]п имеет вид

, (3.14)

или , (3.15)

где ,,-углы Эйлера; - матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов ,задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [X]н)к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [x]п ), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице строк на столбцы. Выражение находим из формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [X]н® [x1] ®[x2]®[x]п, из которых две системы [x1] и [x2] промежуточные.

Переход от осей системы[X]н к осям системы [x1] осуществляется поворотом на угол прецессии ψвокруг неподвижной OY оси прецессии системы [X]н (рис. 3.9 … 3.11).

Переход от осей системы[x1] к осям системы[x2] осуществляется поворотом на уголнутацииθ вокруг оси системы [x1] (рис. 3.5 … 3.11,б).

Рис. 3.9

 

Переход от осей системы [x2] к осям системы[x]п– поворотом на уголротации (собственного вращения ) φвокруг оси системы[x2] .

а б в

 

Рис. 3.10

 

Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]н) к системе Оxyz ([x]п), выполненный с помощью трех поворотов:

1. Поворота системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии ψ, т.е. [X]н®[x1], ОXYZ ® , причем (рис. 3.9 … 3.11,а). Координаты систем координат ОXYZ и (рис. 3.11,a) связаны соотношениями

X = x1 cos y + 0 + z1 sin y ,

Y = 0 + y1 + 0 ,

Z = - x1 sin y + 0 + z1 cos y ,

или в матричной форме

[X] ={a2y} т [x1], (3.16)

где поворотная матрица {a2y} т = (3.17)

описывает поворот вокруг второй оси ОY на угол прецессии ψ .

 

а б

 

Рис. 3.11

 

2. Поворота системы вокруг третьей из коорди-натных осей на уголнутацииθ, т.е. [x1] ®[x2],
® , при этом = (рис. 3.7,3.9, 3.11,б).

Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,б, при этом таковы:

x1 = x2 cos q - y2 sin q + 0,

y1 = x2 sin q + y2 cos q + 0,

z1 = 0 + 0 + z 2,

или в матричной форме

[x1] = {a3q } т [x2], (3.18)

где матрица {a3q } т = (3.19)

описывает поворот вокруг оси 0z1 на угол нутации q.

3. Поворота системы вокруг второй из координатных осей на уголротации (собственного вращения ) φ,т.е.[x2]®[x]п(рис. 3.7, 3.9 … 3.11,а), ® Cxyz,поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,а, имеют вид

x(2) = x cos j + 0 + z sin j ,

y(2) = 0 + y + 0 ,

z(2) = - x sin j + 0 + z cos j ,

или в матричной форме

[x2 ] = { a2j }т [x], (3.20)

поворотная матрица { a2j }т аналогична (3.17) {a2y} т:

{a2φ} т = . (3.21)

Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем

[X] ={a2y} т {a3q} т [x(2)] , (3.22)

где промежуточная поворотная матрица {a2y,3q }т находится как произведение двух матриц поворота,

{ a2y,3q }т = { a2y}т {a3q } т =

= = (3.23)

= .

Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20):

[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j }т [x]. (3.24)

Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21):

{ay,q,j } т = = { a2y} т { a3q } т { a2j } т =

= =(3.25)

 

При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.

3.4. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение.
Кинематические уравнения Эйлера

Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:

вектор угловой скорости прецессии;

вектор угловой скорости нутации;

вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).

Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис. 3.8, 3.12). Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:

. (3.26)

 
 

Рис. 3.12

 

Ось, совпадающая с вектором , является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяетсяпроизводной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением тела:

, (3.27)

или , где – составляющая , направленная вдоль мгновенной оси вращения и характеризующая изменение по величине; – составляющая , перпендикулярная вектору и характеризующая изменение по направлению ( ). Вектор мгновенного углового ускорения будем откладывать от неподвижной точки О тела (рис. 3.13).

 
 

Рис. 3.13

 

Алгебраические величины проекций вектора (3.26) на оси подвижной системы координат Oxyz (рис. 3.8), единичные орты которой соответственно,

. (3.28)

Согласно (3.26),

.

Разложение единичного вектора по базису [x]п, как следует из формул (3.15) и (3.25), таково:

. (3.29)

Единичный вектор , как следует из (3.20) и (3.21), можно представить в виде

. (3.30)

Подставляя (3.29) , (3.30) в соотношение (3.26), получаем

Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны

или (3.31)

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела , углами Эйлера и их первыми производными по времени.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.