Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций



Непрерывность функции в точке. Введем сначала понятия приращений аргумента х и функции у = f(х) .

Пусть функция у= f(x) задана на интервале (а;b) , х0 - фи­ксированная точка этого интервала. Любое число Dx –называется приращением аргумента в в точке х0, , если только x o+ Dx (а;b),

Разность соответствующих значений функции

Dy = f( x o+ Dx) – f(xo)

называется приращением функции в точке х0 (рис.1).

Рис. 21

 

На рис.2, 3 изображены графики функций у = f(x) и у = g(x) указаны приращения аргументов х и соответствующие им npиращения функций Dy . Как мы знаем, стрелка на кривой у = f(x) показывает, что обозначенная ею точка графику не принадлежит, значение функции в точке х0 определяется ординатой правой концевой точки левой части кривой.

y^

 

 

 

 

По-другому ведет себя функция у =g(x) в окрестности точки xq ис.43). Если Dx > 0 и Dx —» 0, то Dy —> 0. Это обусловлено тем, что кривая разорвана над точкой xq.

Определение 1. Функция у = f(x), определенная в точке x0и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в этой точке, если ее приращение Δу стремится к нулю при любом способе стремления к нулю приращения Δx .

Отметим равносильность условий х→ х0 и Dx 0.

Можно показать ,что приведенное определение эквивалентно следующему определению.

Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке xо D, если

.

Принимая во внимание теорему (), последнее определение можно расписать более детально

Определение 1°. Функция у= f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия:

1) y=f(x) определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) существует

3)

 

Подчеркнем, что определения 1 и 1° - это не два разных определения. Определение 1° является более подробной формулировкой определения 1.

Функцию, не являющуюся непрерывной в точке xо, называют разрывной в этой точке. Разрыв может иметь место тогда и только когда, когда нарушается хотя бы одно из условий определения 1°,т.е.

1) функция f(x) не определена в точке xо;

2)не существует .

3) левая и правая части равенства (3) существуют, но не равны

Следующие утверждения легко доказываются с использованием теорем 5 и 6.

Теорема 9. Если функции f(x) и g(х) непрерывны в точке х=х0 , то непрерывны в этой точке и их сумма, разность, произведение частное (для частного теорема верна при условии, что g(х0) 0).

Теорема 10. Пусть функция u = u(x) непрерывна в точке х = хо и функция у = f(u) непрерывна в точке u0 =u(x0), тогда сложная функция у = F(x) = (f(u(x)) непрерывна в точке х = х0.

Доказательство теорем проводится с помощью соответствующей теорем о пределах. Ограничимся рассмотрением произведения непрерывных функций.

Пусть f(x), g(x) - непрерывны в точке xо. Это означает, что

,

Тогда

что означает непрерывность произведения функций f(x) и g(x).

 

Теорема 11. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Доказательство. Докажем непрерывность функции в любой точке Имеем

Функция является бесконечно малой при , а - ограниченной , поэтому по теореме 2 - бесконечно малая при

. Следовательн,о непрерывна в точке x.

Опираясь на непрерывность основных элементарных функций, можно установить непрерывность всех элементарных функций в ка­ждой точке их области определения. Для этого достаточно приме­нить теорему об арифметических действиях с непрерывными фун­кциям и теорему о непрерывности сложной функции.

Теорема 12. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Классификация точек разрыва. Если в точке

Определение 3.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.