Непрерывность функции в точке. Введем сначала понятия приращений аргумента х и функции у = f(х) .
Пусть функция у= f(x) задана на интервале (а;b) , х0 - фиксированная точка этого интервала. Любое число Dx –называется приращением аргумента в в точке х0, , если только x o+ Dx (а;b),
Разность соответствующих значений функции
Dy = f( x o+ Dx) – f(xo)
называется приращением функции в точке х0 (рис.1).
Рис. 21
На рис.2, 3 изображены графики функций у = f(x) и у = g(x) указаны приращения аргументов х и соответствующие им npиращения функций Dy . Как мы знаем, стрелка на кривой у = f(x) показывает, что обозначенная ею точка графику не принадлежит, значение функции в точке х0определяется ординатой правой концевой точки левой части кривой.
y^
По-другому ведет себя функция у =g(x) в окрестности точки xq ис.43). Если Dx > 0 и Dx —» 0, то Dy —> 0. Это обусловлено тем, что кривая разорвана над точкой xq.
Определение 1. Функция у = f(x), определенная в точке x0и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в этой точке, если ее приращение Δу стремится к нулю при любом способе стремления к нулю приращения Δx .
Отметим равносильность условий х→ х0и Dx → 0.
Можно показать ,что приведенное определение эквивалентно следующему определению.
Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке xо D, если
.
Принимая во внимание теорему (), последнее определение можно расписать более детально
Определение 1°. Функция у= f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия:
1) y=f(x) определена в точке и в некоторой ее окрестности;
2) существует
3)
Подчеркнем, что определения 1 и 1° - это не два разных определения. Определение 1° является более подробной формулировкой определения 1.
Функцию, не являющуюся непрерывной в точке xо, называют разрывной в этой точке. Разрыв может иметь место тогда и только когда, когда нарушается хотя бы одно из условий определения 1°,т.е.
1) функция f(x) не определена в точке xо;
2)не существует .
3) левая и правая части равенства (3) существуют, но не равны
Следующие утверждения легко доказываются с использованием теорем 5 и 6.
Теорема 9. Если функции f(x) и g(х) непрерывны в точке х=х0 , то непрерывны в этой точке и их сумма, разность, произведение частное (для частного теорема верна при условии, что g(х0) 0).
Теорема 10. Пусть функция u = u(x) непрерывна в точке х = хо и функция у = f(u) непрерывна в точке u0 =u(x0), тогда сложная функция у = F(x) = (f(u(x)) непрерывна в точке х = х0.
Доказательство теорем проводится с помощью соответствующей теорем о пределах. Ограничимся рассмотрением произведения непрерывных функций.
Пусть f(x), g(x) - непрерывны в точке xо. Это означает, что
,
Тогда
что означает непрерывность произведения функций f(x) и g(x).
Теорема 11. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Доказательство. Докажем непрерывность функции в любой точке Имеем
Функция является бесконечно малой при , а - ограниченной , поэтому по теореме 2 - бесконечно малая при
. Следовательн,о непрерывна в точке x.
Опираясь на непрерывность основных элементарных функций, можно установить непрерывность всех элементарных функций в каждой точке их области определения. Для этого достаточно применить теорему об арифметических действиях с непрерывными функциям и теорему о непрерывности сложной функции.
Теорема 12. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.