Определение 2.6 .Функция называется бесконечно малой (б.м.) при x → a, если
Зная определение предела функции при , можно дать развернутое определение бесконечно малой величины:
y=f(x)- б.м. при x → a
Обычно для обозначения бесконечно малых используют малые греческие буквы. Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.
Определение 2.6 .Функция называется бесконечно большой (б.б.) при x → a, если
Теорема 2.5 (свойства бесконечно малых).Справедливы следующие свойства
1О. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая т.е. если α1(x), α2(x),… ,αn(x) – бесконечно малые при x → a , то β(x)= α1(x) + α2 (x)+… + αn(x) тоже бесконечно малая при x → a
2О. Произведение бесконечно малой и ограниченной функций есть бесконечно малая т.е. если. α(x) - бесконечно малая при x → a, а f(x) ограниченная в точке а,то β(x)=f(x)· α(x) тоже бесконечно малая при x → a.
3О. Функция обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая т.е. если α(x) - бесконечно малая при x → a, то β(x)=1/ α(x) бесконечно большая при x → a.
Доказательство приведенных свойств проводится примерно по одной схеме с использованием определений. Для примера докажем свойство 2О.
Пусть фиксировано произвольное положительное число и пусть и М- какие-нибудь числа из определения ограниченности f(x) такие, что
|f(x)| < M для всех х: |x-a| <
В силу того, что . α(x) - бесконечно малая, по числу найдется такое, что
для всех х: |x-a| <
Положим , тогда для всех х:|x-a| < имеем
Отсюда с учетом произвольности следует, что бесконечно малая при x → a.
Доказательство остальных свойств полезно выполнить самостоятельно в качестве упражнения. Приведенные свойства будем использовать в дальнейшем для доказательства свойств пределов.
Теорема 2.6 (свойства бесконечно больших).Справедливы следующие свойства
1О. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая т.е. если α1(x), α2(x),… ,αn(x) – бесконечно большие при x → a , то β(x)= α1(x) + α2 (x)+… + αn(x) тоже бесконечно большая при x → a
2О. Функция обратная к бесконечно большой есть бесконечно малаят.е. если α(x) - бесконечно большая при x → a, то β(x)=1/ α(x) бесконечно малая при x → a.
Теорема 2.7 (о представлении функции, имеющей предел) . Для того, чтобы существовал
необходимо и достаточно, чтобы
f(x) =A + a(x) (1)
для некоторой б.м. при x → a функции a(x).
Доказательство. Необходимость. Пусть . Это означает
(*)
.Положим α(x) =f(x) - A , тогда из (*) сразу следует, что α(x) бесконечно малая. Отсюда вытекает предсталение f(x) в виде (1).
Достаточность условия (1) сразу следует из определения предела.
Сравнение бесконечно малых функций. Символы о и О.
Определение 2.7. Б.м.функции ά(x) и β(x) называются эквивалентными при , если
Эквивалентность ά(x) и β(x) обозначают: a ~ β , Например, в дальнейшем буде показано, что при a,→0
Sin a ~ a,
tg a ~ a,
ln(1+a) ~ a.
Определение 2.8. Б.м.функцию ά(x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) (обозначается ά(x)=o( β(x)) ), если
Определение 2.9. Б.м.функцию ά(x) называют бесконечно малой одного порядка с β(x) (обозначается ά(x)=О( β(x)) ), если существует такое число С ≠ 0, что