Предел функции в точке, односторонние пределы, предел функции в бесконечности

Понятие предела является основополагающим в математическом анализе.

Определение 1.1 (конечного предела). Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к предельной точке a, записывается

если

(2.1)

Смысл условия (2.1) в следующем: когда аргумент х принимает значения близкие к a (кроме самого a) , значения функции должны быть близки к числу А. Рассмотрим

Пример 1.1. Доказать, что

Покажем, что для произвольного положительного ε можно взять . Выполнение условия (2.1) следует из справедливости цепочки эквивалентных неравенств:

Предел функции может и не существовать.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

На рисунке 2.1 изображена ситуация, где функция f(x) не определена в точке а, однако, предел при x → a существует и равен А. Рисунок 2.2 иллюстрирует случай, когда f(x) определена при х = а , но предел при x → a не существует т.к. при стремлении х к точке а слева все значения f(x) близки числу А, а при приближении переменной х к а справа значения f(x) приближаются к числу В, и , следовательно, нет такого числа, к которому бы стремились значения f(x), при произвольном стремлении х к а.

Следующие утверждения характеризуют функцию, имеющую предел.

Определение 2.2. Функция называется ограниченной в точке a, если существует числа δ > 0 и M > 0 такие, что |f(x)| < M для любых x из U(δ,a).

Теорема 2.1. (об ограниченности функции, имеющей предел). Если существует

то f(x) ограничена в точке а.

Определение 2.3 (одностороннего предела). Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к a слева (справа), записывается

если

На рисунке 2.2 изображена ситуация, когда

Для обозначения односторонних пределов часто используются обозначения

Из определений 2,2 вытекает следующий критерий существования предела

Теорема 2.3 (критерий существования предела). Для существования предела

функции f(x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы существовали равные между собой односторонние пределы

и .

Рассмотрим другие разновидности предела функции.

В определении 2.1 точка а считается конечной, дадим определение предела для случая, когда а =

Определение 2.4 (предела для бесконечной предельной точки). Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к ,,записывается

,

если

.

Например,

Иногда употребляют запись x → , понимая под ней x → или x → .

Дадим теперь определение предела для случая, когда А = .

Определение 2.5 (бесконечного предела или бесконечно большой функции).Запись

означает, что

(2.2)

Если выполняется хотя бы одно из условий (2.2), то функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x → a.

Поиск по сайту: