Дробь не изменит своего значения, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число

Пределы функций.

При вычислении пределов функций используются следующие методы:

• Использование свойства непрерывных функций в точке
• Разложение на множители числителя и знаменателя функции с использованием формул сокращённого умножения, разложения квадратного трёхчлена на множители, метода группировки слагаемых
• Деление числителя и знаменателя дробно-рациональной функции на наибольшую степень переменной
• Освобождение от иррациональности в числителе и знаменателе предельной функции
• Первый замечательный предел
• Второй замечательный предел

Рассмотрим применение этих методов на примерах.

1. Свойство непрерывности функции в точке гласит:

Если функция является непрерывной в точке, то её предел в этой точке равен значению функции в предельной точке, т.е.

Пример 1.

1. Если в предельной точке числитель и знаменатель дроби предельной функции обращается в 0, говорят, что имеет место неопределённость (0/0). Для освобождения от этой неопределённости используют Разложение на множители числителя и знаменателя функции с использованием формул сокращённого умножения, разложения квадратного трёхчлена на множители, метода группировки слагаемых.

Для разложения на множители многочленов числителя и знаменателя используют следующие формулы сокращённого умножения:

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a - b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

a² - b²=(a-b)(a+b)

a³ - b³=(a-b)(a²+ab+b²)

a³ + b³=(a + b)(a² – ab + b²)

Для разложения на множители квадратного трёхчлена используют формулу:

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂),

где x₁ и x₂ – корни соответствующего уравнения ax²+bx+c=0

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4

Числитель и знаменатель предельной функции поделили на наивысшую степень х , т.е. на х³.

3. Если функция содержит в своём выражении корни, она называется иррациональной.

Для освобождения от иррациональности числитель и знаменатель предельной функции умножают на выражение, сопряжённое иррациональному выражению.

Пример 5.

Воспользовались формулой разности квадратов, a²-b²=(a-b)(a+b), а также правилом:

Дробь не изменит своего значения, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число

4. Первый замечательный предел задаётся следующими формулами:

Пример 6

При вычислении этого предела использовали следующие правила:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Дробь не изменит своего значения, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.

1. Второй замечательный предел задаётся следующими формулами:

Пример 7

Чтобы в этом примере воспользоваться вторым замечательным пределом, нужно преобразовать предельную функцию так, чтобы выражение в знаменателе совпадало с показателем степени, а в числитель равнялся бы 1. Для этого числитель и знаменатель дроби разделили

на 2, а показатель степени разложили на множители x/2 и 6. Зная, что при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получили 6-ю степень второго замечательного предела.

Пример 8

Чтобы применить в примере второй замечательный предел, необходимо перед дробью в выражении предельной функции иметь знак «+». Для этого перенесём знак « - « в знаменатель дроби. Поскольку в показателе тогда тоже нужен знак минус, сменим знак у обоих множителей в показателе.

Поиск по сайту: