Определение бесконечно малых и их свойства

Определение предела функции в точке.

Пределом ф-ции y=f(x) в точке x₀ называется такое число A, что для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех значений x из d окрестности точки x₀ выполняется неравенство ½f(x)-A½<e

Теорема о пределе суммы двух функций.

Если существует предел каждого из слагаемых, то существует и предел их суммы, равный сумме пределов слагаемых.

Дано:

Док-ть: Док-во:

Обозначим

Тогда найдутся такие бесконечно малые a(x) и b(x), для которых:

f(x)=A+a(x), g(x)=B+b(x).

Теорема о пределе произведения 2 функций.

Если существует предел каждого сомножителя, то существует предел произведения, который равен произведению пределов сомножителей.

Дано:

Док-ть:

Док-во:

Обозначим

Тогда найдутся такие бесконечно малые a(x) и b(x), что:

f(x)=A+a(x), g(x)=B+b(x).

Ый замечательный предел

Функция sin x /x не определена при х=0, т. К. числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдём предел этой ф-ии при х →0. Рассмотрим окружность радиуса 1 , обозначим центральный угол MOB через Х, при этом 0<x<π/2. Из рис. следует S∆MOA < S сектора MOA < S∆ СОА (1)

Площадь ∆МОА = 0,5 ОА* МВ= 0,5*1*sinx = 0,5 sinx.

Площадь сектора MOA = 0.5 OA *AM = 0.5*1*x = 0.5x

S∆ СОА = 0.5OA*AC = 0.5*1* tg x = 0.5 tg x.

Неравенства (1)после сокращения на0,5 переписываются так: sin x< x < tg x. Разделим все члены на sin x:

Мы вывели это неравенство в предположении, что х > 0; замечая, что sin(-x) /(-x)= sin x / x и cos (-x) = cos x, заключаем, что оно верно и при x< 0.

Но следовательно переменная sin x/x заключена между двумя величинами имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании леммы о пределе

2-й замечательный предел.

Теорема о пределе частного двух функций.

Если существуют предел числителя и предел знаменателя, причем предел знаменателя не равен 0, то существует предел дроби, равный пределу числителя, деленному на предел знаменателя.

Определение бесконечно малых и их свойства.

Функция a = a(x) называется бесконечно малой в точке x=x₀, если предел a(x) при x®x₀ и при х®∞ равен 0.

Из определения предела следует, что если, например, это так, то это значит, что для любого наперёд заданного произвольно малого положительного

, такое, что для всех х , удовлетворяющих условию ,будет удовлетворять условие .

Свойства:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x₀, если найдется такое число M и такая d-окрестность, что для всех x из d-окрестности выполняется неравенство ½f(x)½<M.)

Поиск по сайту: