Свойства б.м. и б.м. величин

Пределы.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε : S = S(ε)), что для всех х таких, что |x| > S, верно неравенство

|f(x) – A| < ε. (1)

Этот предел функции обозначается

или f(x) → А при х → ∞.

С помощью логических символов определение можно записать в виде

Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А(по абсолютной величине).

Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенство |f(x) – A| < ε равносильно двойному неравенству A- ε < f(x) < A+ ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε.

Итак, число А есть предел функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдется такое число S > 0, что для всех х таких, что |x| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A- ε < у < A+ ε, какой бы узкой эта полоса не была.

Замечание. Приведенное определение предела при х → ∞ предполагает неограниченное возрастание переменной х по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т. е. при х → +∞ и х → -∞. В первом случае основное неравенство (1) должно выполняться для всех х таких, что x > S, а во втором - для всех х таких, что x < -S.

Предел функции в точке. Пусть функция y = f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х₀,если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε : δ = δ(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию |x – x₀| < δ, выполняется неравенство

|f(x) – A| < ε. (2)

Этот предел функции обозначается

или f(x) → А при х → х₀.

С помощью логических символов определение можно записать в виде

Смысл определения состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀ , значения f(x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x) – A| < ε равносильно двойному неравенству A- ε < f(x) < A+ ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε. Аналогично неравенство |x – х₀| < δ равносильно двойному неравенству х₀- δ < x < х₀+ δ , соответствующему попаданию точек х в δ-окрестность точки х₀.

Итак, число А есть предел функции y = f(x) при х → х₀ , если для любого числа ε > 0 найдется такая δ-окрестность точки х₀, что для всех х ≠ х₀ из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A- ε < у < A+ ε, какой бы узкой эта полоса не была.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х₀. Другими словами, рассматривая предел функции в точке х₀, предполагается, что х стремится к х₀, но не достигает значения х₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при х → х₀ не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке х₀ .

Замечание 2. Если при стремлении х к х₀ переменная х принимает лишь значения, меньшие х₀, или, наоборот, лишь значения, большие х₀, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x), левостороннем и правостороннем:

Очевидно, что определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при х → х₀, если вместо значений х, удовлетворяющих условию |x – x₀| < δ, при которых выполняется неравенство (2), рассматривать значения х такие, что x₀-δ < x < x₀ при х → х₀ - 0 (слева), или значения х такие, что x₀ < x < x₀ +δ при х → х₀ + 0 (справа).

Разумеется, если

Свойства пределов.

1. Если предел функции существует, то он единствен;

Обозначим А = и В = . Тогда

2. А + В;

3. А ∙ В.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела

С∙ А;

4. = ;

5. Если = А, и = и₀, то предел сложной функции

= А.

6. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) f(x) ≤ g(x), то

≤ .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой (б.м.) в окрестности точки х₀, если = 0.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.) в окрестности точки х₀, если = ∞.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной в окрестности точки х₀, если для всех х из этой окрестности.

Свойства б.м. и б.м. величин.

1) Произведение б.м. величины на ограниченную функцию есть б.м.;

2) Отношение ограниченной функции к б.м. величине есть б.б. величина;

3) Произведение б.б. величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б. величина;

4) Отношение ограниченной функции к б.б. величине есть б.м. величина.

Определение. Две б.м. величины α₁(х) и α₂(х) называются эквивалентными (обозначение α₁(х) ~ α₂(х)) в окрестности точки х₀, если предел их отношения равен единице, т. е.

Это означает, что эквивалентные б.м. величины взаимозаменяемы при вычислении пределов.

Поиск по сайту: