СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по скорости их приближения к нулю.

Пусть f(x) и g(x) бесконечно малые функции при x→x₀, причем х_о может быть как числом, так и одним из символов +∞, -∞, ∞.

Определение1. Если , то функция f(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости (скорее приближается к нулю), чем g(x), а функция g(x) называется бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с f(x).

Определение2. Если , то функция f(x) называется бесконечно малой функцией низшего порядка малости по сравнению с g(x), а g(x) - бесконечно малой функцией высшего порядка малости, по сравнению с f(x).

Определение3. Если , то ,f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми (пишут f(x) ~ g(x))

Определение4. Если. , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка малости по сравнению с g(x).

Теорема.Предел отношениядвух бесконечно малых функций не меняется, если каждую из них или какую-либо одну заменить эквивалентными им. Т.е., если f(x)~f₁(x), g(x)~g₁(x), то .

При вычислении пределов часто бывает полезным заменить бесконечно малую величину более простой, эквивалентной ей.

Пример. Вычислить .

Решение. Т.к. при х→0 функции f(x)=tg2x, и g(x)=arcsin3x – бесконечно малые, заменим их эквивалентными: tg2x~2x arcsin3x~3x. Имеем:

.

Пример.Доказать, что функции sinx и tgx при x→0 эквивалентные бесконечно малые.

Решение. Т.е. нужно показать, что . Действительно,

.

Пример.Показать, что если х –бесконечно малая первого порядка, то 1-cosx - бесконечно малая второго порядка, по сравнению с х.

Решение. На основании определения 4 покажем, что . Действительно, .

Пример.Считая, что х – бесконечно малая первого порядка, определить порядок малости функции sinx-tgx.

Решение. В данном примере, в отличие от предыдущего, порядок малости функции sinx-tgx не задан, его нужно определить. Будем считать, что порядок малости этой функции равен k и найдем k такое, чтобы (согласно определению 4).

Теперь все зависит от предела . Если 3-k>0, то Если 3-k<0, то . Только тогда, когда 3-k=0, т.е. k=3, получим (т.к. ), а искомый предел равен , т.е. имеет конечное и отличное от нуля значение. Итак, k=3 и при x→0 функция sinx-tgx- бесконечно малая третьего порядка малости, по сравнению сх.

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.

Пример.Показать, что функция f(x)=x²+4 является при x→∞ бесконечно большой более низкого порядка (имеет менее высокий порядок роста), чем g(x)=x³-2.

Решение. Покажем, что .

.

Поиск по сайту: