Овалом называют любую плоскую плавную выпуклую замкнутую кривую. Такие кривые бывают циркульными и лекальными. Частным случаем циркульного овала является окружность, а овал, ограниченный лекальной кривой, представляет собой эллипс.
Овалы циркульные имеют две или одну оси симметрии. Элементами, определяющими размер овала с двумя осями симметрии, являются его длина и ширина, измеряемые по осям.
Построение овала по его длине АВи ширинеCD.
Вначале проводят две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О (рис.3.61,а). На горизонтальной прямой в обе стороны от точки О откладывают отрезок АВ/2, а на вертикальной – CD/2. Точки А и С соединяют прямой линией и из точки О описывают дугу окружности радиусом ОА до пересечения ее с прямой CD в точке Е. На прямой АС откладывают отрезок CF = CE. Через середину отрезка AF проводят перпендикуляр и на пересечении его с прямыми АВ и CD получают соответственно точки O1 и О2. На прямых АВ и CD строят точки О3 и О4, симметричные точкам O1 и О2 относительно центра О (рис.3.61, б). Точки O1, О2, О3 и О4 являются центрами сопрягаемых дуг, определяющих контур овала, а точки касания дуг расположены на прямых O1О2, O3О2, O1О4 и O3О4. Из центров O1 и О3 описывают дуги окружности радиуса R1 = O1А, а из центров O2 и О4 - дуги окружности радиуса R2= O2C, получая при этом контур овала.
а б
Рис 3.61. Схема построения овала.
Построение овала по его длине АВи радиусу дуги окружностиR1=AB/4
Проводят горизонтальную прямую и на ней откладывают отрезок АВ. На прямой от точек А и В навстречу друг другу откладывают отрезки AO1 и ВО2, равные АВ/4. Из центров O1 и О2 описывают дуги окружности радиусом R = O1О2 до их взаимного пересечения в точках О3 и О4. Из этих же центров O1 и О2 проводят дуги окружности радиуса R1 = AO1 до пересечения с прямыми O1О3, O2О3, O1О4 и O2О4 в точках 1, 2, 3 и 4. Полученные точки являются точками касания дуг радиусов R1 и R2, определяющих контур овала.
Эллипс(рис. 3.62) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух определенных точек F1 и F2 – фокусов эллипса – величина постоянная, равная длине его большой оси АВ (например, F1M + F2M = AB). Размер эллипса определяют его большая ось АВ и малая – CD. Эти оси, пересекаясь в точке О – центре эллипса, делят его на четыре равные части. Фокусы эллипса F1 и F2 расположены на большой оси АВ симметрично относительно точки О и удалены от концов малой оси – точек C и D на расстояние, равное половине большой оси эллипса (АВ/2).
Рис. 3.62 Рис. 3.63
Построение эллипса по двум его осям. АВ и CD.
Решение 1 (рис.3.63). Вначале задают центр эллипса – точку О и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые. Из точки О описывают две окружности радиусов, равных половине большой АВ и малой CD осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О. Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, а через точки деления большей окружности - прямые, параллельные малой оси эллипса. Точки их пересечения (например, точка М) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс.
Решение 2 (рис.3.64). Задают большую АВ и малую CD оси эллипса. Затем строят прямоугольник со сторонами, равными этим осям и проходящими через точки А, В, С и D. Одну полуось эллипса, например ОА, делят на равное число частей. На такое же число равных частей делят обе половины стороны прямоугольника, проходящей через точку А. Точки деления нумеруют в порядке, показанном на рис. 9.4. Через концы малой оси (точки С и D) и точки деления с одинаковыми номерами проводят лучи, в пересечении которых получают точки эллипса. Например, лучи D2 и С2 пересекаются в точке эллипса Е.
Рис. 3.64. Рис. 3.65.
Построение эллипса по его большой оси АВ и фокусам F1 и F2 (рис. 3.65).
Этот способ основан на определении эллипса как кривой, у которой сумма расстояний от любой ее точки до двух фокусов равна длине большой оси эллипса. Строят две взаимно перпендикулярные прямые и на горизонтальной прямой от точки их пересечения О в обе стороны откладывают отрезки АВ/2. Затем задают фокусы F1 и F2 как произвольные точки, расположенные на большой оси на равном расстоянии от центра О эллипса. Из центров F1 и F2 проводят дуги окружностей соответственно радиусов R1 и R2, сумма которых равна большой оси эллипса АВ. Точка Е пересечения этих дуг является точкой эллипса. Такое построение повторяют несколько раз, изменяя размеры радиусов R1 и R2, но сохраняя постоянной их сумму, равную отрезку АВ. Для определения малой оси CD проводят дуги радиусов R1 = R2 = AO. Полученные точки эллипса соединяют плавной кривой.