Предел функции в точке и бесконечности

Тема 5. Пределы.

Предел функции (и числовой последовательности как функции натурального аргумента) – одно из фундаментальных понятий «математического анализа и линейной алгебры». Оно лежит в основе таких понятий как бесконечно малая и бесконечно большая величины, и являются для студентов наиболее сложным для понимания и использования.

Цельлекции состоит в умении четко разобраться с определениями предела в различных формах, т.к. понимание понятия предела и умение пользоваться этим понятием лежит в основе доказательств признаков существования пределов функций, основных теоремах о пределах.

Задачалекции заключается в умении пользоваться теоремами о пределах. Главная задача- уметь разобраться с вычислениями пределов в условиях неопределенностей, а также использовать понятие пределов функции при исследовании функции на непрерывность.

5.1. Предел числовой последовательности.

Простейшие свойства пределов (единственность предел, переход к пределам в неравенствах).

5.2. Предел функции в точке и в бесконечности.

5.3.Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины.

5.4.Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов.

5.5.Второй замечательный предел. Число «е». Понятие о натуральных логарифмах.

5.6. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Предел числовой последовательности.

Определение. Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что числа образуют числовую последовательность :

Иными словами, числовая последовательность- это функция натурального аргумента , числа - члены числовой последовательности, -общий (или n-й) член числовой последовательности.

Примеры.

1. - монотонно убывающая и ограниченная;

2. : 2, , ,…, ,…- монотонно возрастающая и неограниченная;

3. -1, 1, -1, 1…- немонотонная и ограниченная;

4. -1, , - , ,…- немонотонная и ограниченная;

5. 0, , , , , , ,…

Изобразим последовательность (пример 5) на числовой прямой (рис.5.1.2)

Рис. 5.1.2

На рис.5.1.2 видно, сто с ростомn члены последовательности приближаются к единице,т.е. величина становятся все меньше и меньше. Иными словами, если рассмотреть любую сколь угодно малую окрестность числа а=1, в этой окрестности накапливается бесчисленное множество членов последовательности , начиная с некоторого номера N.

Определение.Число аназывается пределом числовой последовательности , ,если для любого, сколь угодно малого числа , найдется такой номер N(зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n> N,

выполняется неравенство <

В этом случае записывают:

	>0 , n>N >		>0 , n>N < <

Если последовательность имеет предел, она называется сходящейся,в противном случае - расходящейся.

Для пределов числовой последовательности имеют место следующие теоремы (свойства).

Теорема 5.1.1. Если последовательность имеет предел, то только один.

Доказательство.Пусть . Предположим, существует . По условию для >0 , < < по предположению для >0 n> < <

Пусть выбранные окрестности не пересекаются.

а- а а+ b- b b+

Рис.5.1.2

Если N=max ,то для n> N один и тот же член одновременно находится в двух разных окрестностях. Следовательно, если , то число b не может быть пределом данной последовательности.

Теорема 5.1.2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Если считать, что , ,…, , то, начиная уже с первого члена последовательности (n≥1), все члены последовательности лежат в окрестности точки С (совпадают с числом С), т.е. .

Теорема 5.1.3. Предел положительной последовательности (переменной) неотрицательный; предел отрицательной последовательности (переменной) не положителен.

Доказательство. а) Пусть при >0 и . Предположим, что а<0. по определению предела для >0 , что для n>N < < . Но это означает, что существуют отрицательные члены последовательности, что противоречит условию. Следовательно, если >0, то .

а-δ а а+δ 0

б) Если <0, доказательство аналогично.

Теорема 5.1.4. Если и

Доказательство.Если >0 , n> выполняется условие < < . Если >0 , такой, что для n> выполняется условие < < . Предположим, a>b (рис.5.1.4)

n> n>

b- b b+ а- а а+ х

Рис.5.1.4

Если окрестности не пересекаются (всегда можно их выбрать такими), то для n>N =max , < , что противоречит условию. Значит, наше предположение невернои .

Замечание. Из теорем 5.1.3 и 5.1.4 следует: при переходе к пределам в неравенствах знак неравенства сохраняется.

Предел функции в точке и бесконечности.

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Здесь аргумент х, изменяясь, может принимать различные значения.

Определение.ЧислоА называется пределом функции y=f(x) при х, стремящимся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число М>0 (зависящее от , т.е. М=М( )), что при >M верно неравенство < .

В этом случае записывают:

у

А+ε

А

А-ε

0 М х

Рис.5.2.1

С помощью логических символов определение можно записать следующим

образом: >0) ( ) ( >M) <

Геометрически это же определение означает: как только >M график функции лежит внутри полосы шириной 2 , т.е. <f(x)< , какой бы узкой ни была эта полоса (рис.5.2.1)

Пример. Доказать, что

Пусть . Найдем такое М>0, чтобы < <

< , >10 х>41; М=41. если х>41 выполняется условие < .Значит,

Замечание. Приведенное определение предела функции подразумевает под высказыванием , что . Но т.к. возможны случаи или , то для определение совпадает с приведенным, а если , то ищется такое М, чтобы выполнялось условие x<-M .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а (кроме, может, самой точкиа).

Определение.Число А называется пределом функции при х, стремящимся к а(или в точке а), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое положительное , что для всех х не равных а и удовлетворяющих условию x – a δ выполняется условие < ε

В этом случае записывают: . (5.2.1)

С помощью логических символов равенства (5.1) (или определение предела

функции) запишется:

>0) ( >0) ( < ) < .

Рассмотрим геометрический смысл предела функции.

y

А+ε

А 2ε

А-ε

0 а-δ а х а+δ х

Рис.5.2.2

< < <

<ε <f(x)<A+ε (5.2.2)

Совместное выполнение неравенств (5.2.2) означает:

ЧислоА является пределом функции при x→a, если для любой -окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, соответствующие значения функции f(x) лежат -окрестности точки А, т.е. внутри полосы (шириной 2 ).

Замечание. Т.к. предел рассматривается при значениях (но ), то поведение функции в самой точке а в данном случае не представляет интереса.

Поиск по сайту: