Динамические реакции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси под действием приложенных к нему внешних задаваемых сил . Предположим, что в рассматриваемый момент времени тело имеет угловую скорость и угловое ускорение . Чтобы воспользоваться методом кинетостатики, приложим к каждой точке тела массы силу инерции ( . При неравномерном движении по окружности радиуса ускорение точки будет иметь тангенциальную (вращательную) и нормальную (осестремительную) составляющие.

Соответствующие составляющие силы инерции, а так же их проекции на оси декартовой координатной системы нанесены на рис.3.3. Заменим наложенные связи (цилиндрический шарнир В и подпятник А) на соответствующие реакции (точнее – их проекции на оси координатной системы); нанесем их на рисунок.

Расстояние между опорами АВ обозначим .

Составим уравнения равновесия:

(3.5)

Найдем выражения проекций инерционных усилий на оси и :

(3.6)

где - масса тела, и - координаты его центра масс, а и - соответствующие центробежные моменты инерции ротора.

Подставив (3.6) в (3.5), получим

(3.7)

.

Последнее уравнение не содержит реакций опор и представляет альтернативную запись дифференциального уравнения вращательного движения тела. Остальные пять уравнений позволяют найти проекции опорных реакций на выбранные координатные оси. Вследствие независимости действия сил возникающие опорные реакции можно представить состоящими из трех составляющих: первая из них обусловлена активными силами статической природы (например, силы веса), вторая – активными силами динамической природы, третья – движением твердого тела. Очевидно, что каждая из указанных категорий реакций может быть рассчитана независимо от остальных. При этом реакции первой и второй категорий, обусловленные активными (задаваемыми) силами, не зависят от инерционных характеристик твердого тела и не могут быть минимизированы в процессе динамической балансировки. Опорные реакции третьей категории называются дополнительными динамическими реакциями.

ПРИМЕР 3.3. Руль в форме однородного прямоугольного треугольника вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ; ось вращения совпадает с одним из катетов (см.рис.3.4). Определить реакции подпятника А и подшипника В, полагая, что они находятся в вершинах треугольника.

РЕШЕНИЕ. Свяжем с пластиной подвижную координатную систему, направив ось по оси вращения, а ось - по катету . Мысленно разобьем пластину на элементы массой . При равномерном вращении сила инерции каждого элемента имеет только центробежную составляющую .

Величина главного вектора сил инерции .

Найдем главный момент сил инерции относительно оси , проходящей через подпятник А

,

где - центробежный момент инерции треугольной пластины (см. таблицу 6.1).

Составим для плоской системы сил, действующих на руль, уравнения равновесия:

.

Решив систему уравнений относительно составляющих опорных реакций, получим .

Поиск по сайту: