 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Сила зависит от скорости
Задача 5. Лодку, масса которой m=40 кг, толкают, сообщая ей начальную скорость v0 = 0,5 м/с. Считая силу сопротивления воды при малых скоростях пропорциональной первой степени скорости и изменяющейся по закону R=μv, где коэффициент μ=9,1 кг/с, определить, через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также, какой путь пройдет лодка до полной остановки.
Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение (7), проектируя все действующие силы на ось Ох. Замечая, что в данном случае vx=v, будем иметь:
Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним - значение того же переменного в произвольный момент времени. Тогда, учитывая, что по условиям данной задачи при t=0, v=v0, получим:
Отсюда окончательно
Искомое время t1определим, полагая v=0,5v0. Это время, как видим, не зависит в данном случае от величины v0. Так как In 2 = 0,69, то
Для определения пройденного пути целесообразнее вновь составить дифференциальное уравнение движения, так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между xи v). Тогда получим:
Отсюда, сокращая на v, разделяя переменные и учитывая, что при x=0, v=v0, будем иметь:
Следовательно, Полагая v=0,5v0, найдем искомый путь: Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (11) положить v=0. Тогда получим, что Определяя время движения до остановки, мы из равенства (10) найдем, что при v=0 время t2=
Поиск по сайту: |
Решение. Совместим начало отсчета Ос начальным положением лодки и направим ось Охв сторону движения (рис. 5). Тогда начальные условия будут: при t =0, x =0, vx=v0.
.
или 
(10)
или 
(11)
м.
м.
. Это означает, что при принятом законе сопротивления (R=μv) лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатой x2) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления становится другим и соответственно изменяется вид зависимости v от t.