Задачи динамики точки. Дифференциальные уравнения

Движения точки

Задачами динамики точки являются:

1) первая задача динамики - зная закон движения материальной точки, определить, под дей­ствием какой силы такое движение может происходить;

2) вторая задача динамики - зная действующие на материальную точку силы, а также ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения точки. Вторая задача является в динамике основной.

Задачи динамики точки решаются с помощью соответствующих дифферен­циальных уравнений, связывающих координаты движущейся точки с действующими на нее силами. Эти уравнения получаются из второго (основ­ного) закона динамики. Представим урав­нение (2), выражающее второй закон Ньютона, в виде

^, (4)

Проектируя обе части равенства (4) на оси Oxyz, получим диф­ференциальные уравнения движения свободной материальной точки в прямоугольных декартовых координатах:

(5)

Решение первой задачи динамики

Задача состоит в том, чтобы, зная закон движения точки, т. е. кинематические уравнения

x = x(t), y = y(f), z = z(t),(6)

найти действующую силу, т. е. F_x, F_y, F_z.Задача, как видим, легко решается с помощью уравнений (5) и сводится к вычислению вторых производных по времени от заданных функций (6).

Задача 1.Воздушный шар весом Р опускается с ускорением w. Какой груз Q (балласт) надо сбросить, чтобы шар стал подниматься с таким же ускорением?

Решение. На падающий шар действуют сила тяжести Ри подъемная сила F(рис. 2а).

Составляя уравнение (5) в проекции на вертикаль, по­лучим

Когда будет сброшен балласт (рис. 2б), вес шара станет равен Р-Q, а подъемная сила останется той же. Тогда, учитывая, что шар при этом движется вверх, будем иметь:

,

исключая из этих уравнений неизвестную силу F, найдем:

.

Задача 2.Лифт весом Р(рис.3) начинает подниматься с ускорением w. Определить натяжение троса.

Решение. Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Ти, составляя уравнение (5) в проекции на вертикаль, получаем:

.

Если лифт начнет опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно .

Поиск по сайту: