Раздаточный материал по расчету вязкого течения неньютоновских жидкостей в трубе
Запись основного уравнения гидродинамики в цилиндрической системе координат.
(1)
(2)
; (3)
; (4)
Представление конвективной составляющей уравнения Навье Стокса через введение понятия вихревого движения (уравнение Громеки-Лемба).
Докажем, что:
Напомним, что выражение для ротора вихря, вращающегося с угловой скоростью W, в декартовой системе имеет вид:
=
Напомним, что векторное произведение в декартовой системе равна:
= (aybz -azby)i͞+(azbx –axbz)j͞+(axby –aybx)k͞
Тогда:
Напомним:
Тогда:
, что и т.д.
Поле скоростей в турбулентном потоке.
Рассмотрим полубесконечное стационарное осредненное течение. В этом случае 𝜔у=𝜔z= 0, 𝑣͠=f(у).Пусть течение напорное . Тогда из уравнения движения имеем:
. (1)
После интегрирования:
= τμ+τт=С1, (2)
где τμ,τт – напряжения вязкого и турбулентного трения. Пусть напряжение трения на стенке (у=0) равно τw, тогда из пограничного условия при у=0 , С1= τw. Т.о. уравнение (2) можно переписать τμ+τт= τw (3). Рассмотрим решение уравнения (3)в пристенной области у→0, где τт = = - . Тогда из (3) следуем, τμ= τw, или τw= с граничным условием «прилегания» После интегрирования (4) имеем из гр. Условия у=0, Т.е. в пристенной области профиль скоростей линейный. В ядре у→∞, τт>> τμ, т.е уравнение (3) трансформируется к виду:
τт= τw→→ (5)
Уравнение (5) дает выражение для профиля скоростей в «ядре». Заметим, что имеет размерность скорости и обозначается, что динамическая вязкость турбулентного потока Величину физический смысл можно определить из следующих соображений τт= = τw= Динамическая скорость… Постоянную в уравнении (5) нельзя найти из граничного условия на стенке ибо уравнение (5) в это й области не справидливо. Ее можно найти сравнивая решения (5) и линейный профиль в пристенной области. «Сращивание» решения будем на расстоянии у0, где силы трения и инерции приблизительно равны, а Re . Re= . Тогда:
Тогда: С=(1- ) Окончательно (5) с учетом выражения имеет вид:
(6)
Из (6) следует, что профиль скоростей в ядре потока логарифмический. Точное решение Прантля имеет вид:
(7)
Раздаточный материал по расчету вязкого течения неньютоновских жидкостей в трубе.
Из уравнения Новье-Стокса в цилиндрической системе координат
(1)
Подставляем в (1) конкретные выражения для различных типов жидкостей. Так для пластичных и дилатантных жидкостей
(2)
ᵃ⁺̸¹ ᵃ + ᵃ⁻¹̸ᵃ+ C₂ (3)
Из условия
C₂ = - ¹̸ᵃ ᵃ⁺̸¹ ᵃ (4)
Окончательно:
(5)
Средняя скорость жидкости, согласно теореме о среднем, равна:
(6)
Тогда распределение скоростей можно переписать в виде:
(7)
Расход жидкостей в трубе равен:
V= (8)
Изуравнения (5) очевидно, максимальная скорость будет при r=0.
= (9)
=1- u = (10)
Потери напора за счет внутреннего трения равны перепаду давления в трубе и определяются уравнением дарси-Вейсбаха:
(11)
Из уравнения 11 получаем
(12)
Для придания формуле 12 вида, аналогично полученному для ньютоновской жидкости λ= , введем понятия модифицированного критерия
λ= = , a = ; при (13)
Аналогично изложенному можно получить выражения для расчета бингамовской жидкости: = - . Тогда из уравнения 1 получим:
= (14)
= + (15)
Так как при r=0
= - (16)
Подставляя уравнение 16 в уравнение 15 окончательно получим:
= (17)
Поскольку до достижения напряжения трения равного жидкость не течет, то эпюра скоростей жидкости в трубе имеет следующий характер.
(РИС.) Параболический профиль скоростей наблюдается в области R- , а центральное цилиндрическое ядро радиусом , при котором = течет в виде стержня. Радиус стержневого потока находим из уравнения 1, напоминаем , что
(18)
Подставляя (18) в (17), получим скорость движения стержневого потока:
(19)
Средняя скорость жидкости согласно теореме о среднем равна:
(20)
Расход жидкости по трубе равны:
(21)
Потери напора за счет внутреннего трения равны перепаду давления в трубе и определяются по уравнению Дарси-Вейсбаха:
(22)
Коэффициент гидравлического сопротивления может быть определен постановкой (20) в (22), а затем, полагая находим .