Ошибка выборки для альтернативного признака

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность Pрасхождения между долей признака в выборочной совокупности р и долей в генеральной совокупности P_г будет стремиться к 1.

, (4.10)

Для альтернативного признака среднее квадратическое отклонение равно, где . Тогда средняя ошибки выборки для альтернативного признака равна

, (4.11)

, (4.12)

Доля в генеральной совокупности P_г неизвестна и может быть только оценена при выборочном наблюдении

, (4.13)

При простой случайной выборке средняя квадратическая ошибки определяется по формулам:

Определение необходимой численности выборки

Численность стандартной и предельной ошибки выборки связано с увеличением объема выборки n. При проектировании выборочного наблюдения заранее задается величина допустимой ошибки и доверительная вероятность для определения предельной ошибки .

Если P=0,954, то (2σ)

Если P=0,997, то (3σ)

, (4.18)

. (6.19)

Для определения дисперсии признака в генеральной совокупности используются приближенные методы.

1. Можно провести несколько пробных обследований и по ним выбирать наибольшее значение дисперсии , где достаточно пробных наблюдений.

2. Можно использовать данные прошлых или аналогичных обследований.

3. Можно использовать размах вариации , если распределение нормальное, то , т.е. .

Формы организации выборочного наблюдения

Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:

1-й вариант

, (4.24)

где n — объем выборки

N — объем генеральной совокупности

n_i — число наблюдений из i-ой типической группы

N_i — объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.

2-й вариант — равномерный (из каждой группы поровну)

, (4.25)

где k — число групп.

3-й вариант — оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)

(4.26)

Серийная (гнездовая) выборка — в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется

, (4.27)

где s — число серий;

δ — межгрупповая дисперсия.

При бесповторном отборе

, (4.28)

где S — общее число серий в генеральной совокупности.

Механическая выборка — при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.

, (4.29)

Механический отбор удобен, прост и широко применяется, так при 2%-й выборке отбирается каждая 500-я единица (1:0,02), при 5%-й — каждая 20-я.

Пример

Исходя требований ГОСТа необходимо установить оптимальный размер выборки из партии изделий 2000 штук, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превысила 3% от веса 500 гр. Изделия (батона).

Решение.

гр для средней количественного признака

шт.

Статистические методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений

Корреляционная связь (частный случай стохастической) — связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Задача корреляционного анализа — измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача регрессионного анализа — выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие — как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

· тесноты;

· направлению;

· аналитическому выражению.

Регрессионный анализ

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических (фактических) значений, т.е.

. (5.1)

При изучении связей показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Так, при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

(5.2)

Это наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками, при парной корреляции она выражается уравнением (6.2), где а₀ — среднее значение в точке x=0, поэтому экономической интерпретации коэффициента нет; а₁ — коэффициент регрессии, показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

полулогарифмическая (5.3)

показательная (5.4)

степенная (5.5)

параболическая (5.6)

гиперболическая (5.7)

Система нормальных уравнений МНК для линейной парной регрессии имеет следующий вид:

(5.8)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

;

. (5.9)

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверить, насколько вычисленные параметры типичны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. Значимость коэффициентов регрессии применительно к совокупности n<30 определяется с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия:

для параметра а₀: , (5.10)

для параметра а₁: . (5.11)

В формулах (6.10) и (6.11):

— среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений . (5.12)

— среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней . (5.13)

Полученные по формулам (5.10) и (5.11) фактические значения и сравниваются с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν(ν=n-k-1, где n — число наблюдений, k — число факторов, включенных в уравнение регрессии). Рассчитанные параметры а₀ и а₁ уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

На практике часто приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. Аналитическая форма связи результативного признака от ряда факторных признаков выражается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии.

Линейное уравнение множественной регрессии

. (5.14)

Система нормальных линейных уравнений МНК для оценки коэффициентов двухфакторной регрессии имеет вид:

(5.15)

Корреляционный анализ

Различают:

• парную корреляцию — это зависимость между результативным и факторным признаком;
• частную корреляцию — это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
• множественную — многофакторное влияние в статической модели .

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

(5.16)

. (5.17)

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

, (5.18)

Вычисленное по формуле (6.18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t_расч превышает : t_расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

, (5.19)

где — общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

— факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

— остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

, т.е. . (5.19)

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = |r|.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

, (5.20)

где — парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (5.21)

где R² — коэффициент множественной детерминации (R² );

k — число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если F_расч > F_табл — табличного значения F-критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν₁ = k,ν₂ = n — k — 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором — х₁):

; , (5.22)

где r — парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, (5.23)

где — среднее значение соответствующего факторного признака;

— среднее значение результативного признака;

— коэффициент регрессии при i-м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

, (5.24)

где — парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

— соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (5.25)

Пример

По данным о стоимости основных производственных фондов (С_ОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.

0,04

20,25

Сумма

125,4

82,5

Среднее

5,5

44,5

290,7

38,5

2248,7

44,5

;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.

Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :

для параметра а₀:

для параметра а₁: .

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2,306.

Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.

ПримерПо данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.

, или .

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Значение t_расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

ПримерИмеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (С_ОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (З_РП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.

Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:

Выразим из 1-го уравнения системы a₀ = 29,4 — 6,6·a₁ — 9·a₂.

Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:

.

Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a₀ и a₁ полученные выражения и решаем его относительно a₂ с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:

a₀ = 12,508; a₁ = 2,672; a₂ = — 0,082; = 12,508 + 2,672·х₁ — 0,082·х₂.

= = 0,884;

= = 0,777;

= = 0,893;

=0,893.

Проверим значимость r (α = 0,01 и ν = 7):

= 5,00; = 3,27.

=5,00 > t_табл=3,50 — коэффициент корреляции x₁ значим;

=3,27 < t_табл=3,50 — коэффициент корреляции x₂ не значим.

Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель — между результативным и факторными признаками существует тесная связь (= 0,884; = 0,777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь (= 0,893). Включение в модель фактора x₂ незначительно увеличивает коэффициент корреляции (= 0,884; =0,893), поэтому включение в модель фактора x₂ нецелесообразно.

Вычислим стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:

Отсюда вычислим частные коэффициенты детерминации:

т.е. вариация результативного признака объясняется главным образом вариацией фактора x1.

Вычислим частные коэффициенты эластичности:

Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера:

Найдем значение табличного значения F-критерия для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1 = 2, ν2 = 10 —2 — 1 : Fтабл=4,74. Превышение значения Fрасч над значением Fтабл позволяет считать коэффициент множественной детерминации значимым, а соответственно и модель — адекватной, а выбор формы связи - правильным.

Ряды динамики

Поиск по сайту: