Если функция в данной точке существует, конечный предел отличается от 0, то в некоторой проколотой окрестности жтой точки функция имеет тот же знак, что и в указанном пределе (в частности, она не равна 0).
9(непрерывность функции на множестве). Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.
функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке совпадает с ее значением в той же самой точке.
Точка разрыва-та точка в которой функция разрывется(кэп) если функция определена в окружности этой точки а в самой точке нет.
101) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.
Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.
3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция непрерывна в x0.
4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).
5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,
g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.
Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.
Классификация точек разрыва
Если f(x) не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .
В дальнейшем будет предлагать, что f(x) определена в некоторой окрестности x0 (быть может, односторонней).
Опр. Если существуют конечные пределы
f(x0 - 0) f(x) и f(x0+0) f(x)
и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0 - 0)=f(x0+0), то разрыв называется устранимым.
Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.
Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b].
Она называется непрерывной справа в точке a , если f(a)= f(x). Если существует конечный предел f(a+0) f(x) и f(a)¹ f(a+0) , то такой разрыв называется разрывом первого рода (устранимым).
Непрерывность сложной ф-ии:Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
,
что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <
Обратите внимание на следующие детали:
а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));
б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.