Предел функции по Коши

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой посл-ти точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), посл-ть значений функции сходится к .^[1]

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовл условию , выполняется неравенство .^[1]

Критерий Коши

Определение. Говорят, что посл-ть { } удовлетворяет условию Коши, если для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров m и n таких, что n≥N, m≥N, справедливо неравенство < (*). Посл-ть, удовл условию Коши, называется фундаментальной.

Условие (*) можно сформулировать иначе: для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров n N и всех натуральных p выполняется условие: .

Теорема (критерий Коши).Для того чтобы посл-ть сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть посл-ть { } сходится и .

Зададим >0, тогда существует такой номер N, что для всех номеров n N выполняется неравенство . Пусть n N и m N, тогда , то есть выполняется условие Коши.

Достаточность. Пусть { } удовлетворяет условию Коши, то есть для любого >0 существует номер N, что для n N и m N выполняется неравенство . Пусть =1, тогда существует номер N такой, что при n N и m N выполняется . В частности, если n N и m=N , то , то есть при n N . Это значит, что посл-ть {x }, n=N , N +1,…ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { }.

Пусть . Зададим >0. Тогда существует такой номер K ,что для всех номеров K K или, что то же самое, для всех n n выполняется неравенство

Обозначим через =max{N,n } и зафиксируем некоторое n . Тогда для всех n N имеем , что и означает, что (для суперлюбознательных)

5.Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (илипреде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

1. 6. Бесконечно малые и их свойства. lim_{x® a} a(x)=0

Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то lim_{x® a} f(x)=b и обратно, если lim_{x® a}f(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).

Теорема. 2. Если lim_{x® a} a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

1. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x) £ z(x) £ v(x), и lim_{x® a} u(x)=lim_{x® a} v(x)=b, то lim_{x® a} z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций

имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

,

§ 7,Первый замечательный предел:

§ Второй замечательный предел:

8.Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть и . Пусть

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны ( ) и достигаются (существуют такие, что ).

Поиск по сайту: