Число a называется пределом числовой последовательности ( , если при n⟶ сама последовательность стремится к числу a.
Пишут: = a.
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой последовательностью.
Последовательность, не имеющая предела, называется бесконечно большой.
Теоремы о пределах:
1). Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме(разности) пределов этих последовательностей, т.е. = ;
2). Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е. = ;
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
3). Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей, т.е. = ;
4).Предел числа равен самому числу.
Пример: 1). = =
2). = = 0 = 6,
3). = = (т.к. первая бесконечность растет быстрее, чем вторая).
4). =( = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо каждый член последовательности разделить на старшую степень = = = = = 1,6.
5). = ( = = = = ,
Самостоятельно: 1). ; 2) ; 3). ; 4). ;
5). ; 6) ; 7) .
Число b называется пределом функции f(x), если при х⟶a сама функция стремится к числу b.
Свойства и теоремы, применяемые для нахождения пределов последовательностей, справедливы и для нахождения пределов функций.
Пример:
1). = 2 =
2). = = ;
3). = = получили неопределенность , чтобы ее раскрыть надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и выполнить сокращение. = = = 2,
4). = ( ) = = = 3+ 3 = 6,
5). = = 3 = 0 2 =
D= 4 D = 1 8 = 9,
= = = = ,
= = = =
= = = = ;
6). = = если функция содержит корень, то числитель и знаменатель дроби надо умножить на сопряженное выражение = = = = ;
7). = = = = = = = 3
8). = = = =
= = = ;
9). = = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо , умножить и разделить на сопряженное выражение. После чего получим неопределенность вида = = =
= = = = = = = .
Замечательные пределы.
Первым замечательным пределом называется = 1, или = 1.
Пример: 1) = ( ) = = = =1,5.
2) = = = = = .
3) = ( ) = = = =
= 1 = 2.
Самостоятельно:
Н.В.Богомолов, стр.171, № 251(1,3), 253(4).
Числом е ( вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е = , или е = . Неопред.