И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.

МЕХАНИЧЕСКИЙ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть функция определена на промежутке . Возьмем произвольную точку . Дадим значению приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производная функции имеет несколько обозначений: , , , .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Если функция дифференцируема на промежутке , то каждому из этого промежутка поставлено в соответствие, кроме значения функции , некоторое число, равное производной функции в этой точке , т.е. на промежутке возникает, кроме , еще одна функция , которая называется производной функцией от данной функции или просто производной от этой функции: .

Из задачи о скорости прямолинейного движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Из задачи о касательной к графику функции вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой   Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия: Записать отношение ; Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx; Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x0.

Пример 1

Используя определение, найти производную функции . Решение. По определению производной

Пример 2

Найти производную функции . Решение. Применяя определение производной, получаем Умножим числитель и знаменатель на . Заметим, что Тогда

Пример 3

Найти производную функции y(x) = sin x. Решение. Используя определение производной, получаем Применим тригонометрическое тождество Тогда Первый предел в данном выражении равен Поскольку , то для производной синуса получаем окончательное выражение:

Поиск по сайту: