Свойства предельных значений

Предел функции

Основное определение.Число b называется предельным значением (пределом)функции f(x) при x стремящимся к a (обозначение или ), если

.

Варианты определения.

Число b называется предельным значением (пределом)функции f(x) при x стремящимся к +¥ (обозначение ), если

.

Говорят, что функция f(x) стремится к +¥ при x стремящимся к a (обозначение ), если

.

И так далее.

4.1 Предел функции в точке

1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши.Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство
| f(x) – a | < e .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х_n ≠ а, последовательность {y_n = f(x_n)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике – см. рис.:

Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 можно указать такую проколотую d-окрестность точки а, что для любых чисел х₁ и х₂, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство
| f(x₁) – f(x₂) | < e.

Пусть Тогда существуют пределы суммы и произведения функций f(x) и g(x), а в случае с ≠ 0 – и частного этих функций, причём:

Если определена сложная функция F(f(x)), причём то существует и предел сложной функции, причём

В теории пределов доказываются следующие два утверждения.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: где е – знаменитое иррациональное число, e= 2,71...

При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя.

4.2 Односторонние пределы.Число b есть предел слева (справа)функции f(x) при x стремящимся к a, если

( ).

Обозначение ( ).

Если ,то существует . Верно и обратное утверждение.

Теорема,устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любойпоследовательности {x_n}, у которой существовал

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если .

4.2 Односторонний предел

Определения

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

Поиск по сайту: