Бесконечно большие функции и их свойства

– точка сгущения для .

Функция называется бесконечно большой функцией при , если

f(x)=

Свойства бесконечно больших функций.

Пусть и бесконечно малые функции при , – ограниченная в некоторой окрестности точки , тогда:

1.) – бесконечно большая функция при , если и одного знака.

Доказательство.

Пусть и является бесконечно большой при ,

и является бесконечно большой при .

а.)

выполняется неравенство

б.)

выполняется неравенство

в.)

выполняется

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно большая функция при , если одного знака.

3.) – бесконечно большая функция при .

Доказательство.

а.)

выполняется неравенство

б.)

выполняется неравенство

в.)

выполняется

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому – бесконечно большая функция при .

3.) - бесконечно большая функция при

Доказательство.

а.) – ограниченная в некоторой окрестности точки .

выполняется неравенство

б.) - бесконечно большая функция при .

выполняется неравенство

в.)

выполняется

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому бесконечно большая функция при .

4.) Пусть функция отделённая от 0 снизу.

бесконечно большая функция при , в частности

Доказательство.

а.) – функция отделённая от 0 снизу.

б.) - бесконечно большая функция при .

выполняется неравенство

в.)

, выполняется

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому бесконечно большая функция при .

Примеры:

1.) Проверить, что = - бесконечно большая при .

выполняется неравенство

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому бесконечно большая функция при .

2.) Проверить, что = - бесконечно малая при

выполняется неравенство

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому = - бесконечно малая функция при

3.)Проверить, что - бесконечно большая при .

выполняется неравенство

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно большая функция при .

4.) Проверить, что - бесконечно большая при .

выполняется неравенство

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно большая функция при .

5.) Проверить, что - бесконечно малая при .

выполняется неравенство

Определение бесконечно большой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно большая функция при .

Поиск по сайту: