Определение. Пусть – предельная точка для , число называется пределом функции при , если выполняется условие (A)
выполняется неравенство
Геометрическая иллюстрация:
Примеры:
выполняется неравенство
Если принять , то определение предела выполнено.
выполняется неравенство
∙
<
∙ <
=0
, . не удовлетворяет условию >0
Если принять ( любое из интервала (0; ), то определение предела выполнено.
в.)
выполняется неравенство
Если принять то определение предела выполнено.
2.)Определения предела в случае, когда - бесконечно удалённая точка, а -конечное число.
или и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
или и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
3.) Определение предела в случае, когда - конечное число, а - бесконечно удалённая точка.
или и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство .
Бесконечно малые функции.
Определение.Пусть – точка сгущения для функции . Функция
.
Примеры:
- бесконечно малая при x→0.
2.)
Свойства бесконечно малых функций.
Пусть бесконечно малые функции при – ограниченная в некоторой окрестности точки , тогда:
1.)- бесконечно малая функция при.
Можно обобщить на сумму ( или разность) любого конечного числа бесконечно малых функций.
Доказательство.
а.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство
б.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство
в.)
выполняется
Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
Пример:
бесконечно малая функция при .
2.)- бесконечно малая функция при.
Доказательство.
а.) – бесконечно малая функция при .
выполняется неравенство |
б.) – бесконечно малая функция при .
выполняется неравенство
в.)
выполняется
Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
3.)- бесконечно малая функция при.
Доказательство.
а.) – ограниченная в некоторой окрестности точки .
выполняется неравенство
б.) - бесконечно малая функция при .
выполняется условие
в.)
, выполняется
Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
Пример:
– бесконечно малая при .
- ограниченная в некоторой окрестности точки 0.
- бесконечно малая при .
Основная теорема о пределах.
Лемма о функции, имеющей конечный предел.
Лемма. Функция имеет конечный предел при тогда и только тогда, когда в окрестности точки эту функцию можно представить в виде при , где – бесконечно малая функция при .
По определению предела:
выполняется неравенство
Пусть , тогда
Переписав определение для мы получим, что – бесконечно малая функция:
выполняется неравенство
выполняется неравенство
Пример:
1.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство
Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
2.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство
Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .