Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основная теорема о пределах



Предел функции в точке.

1.) – конечные

Определение. Пусть – предельная точка для , число называется пределом функции при , если выполняется условие (A)

выполняется неравенство

Геометрическая иллюстрация:

Примеры:

выполняется неравенство

Если принять , то определение предела выполнено.

выполняется неравенство

<

<

=0

, . не удовлетворяет условию >0

Если принять ( любое из интервала (0; ), то определение предела выполнено.

в.)

выполняется неравенство

 

Если принять то определение предела выполнено.

 

2.)Определения предела в случае, когда - бесконечно удалённая точка, а -конечное число.


или и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

 


или и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

 

3.) Определение предела в случае, когда - конечное число, а - бесконечно удалённая точка.

или и удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство .

 

Бесконечно малые функции.

Определение. Пусть – точка сгущения для функции . Функция

.

Примеры:

- бесконечно малая при x→0.

2.)

Свойства бесконечно малых функций.

Пусть бесконечно малые функции при – ограниченная в некоторой окрестности точки , тогда:

1.) - бесконечно малая функция при .

Можно обобщить на сумму ( или разность) любого конечного числа бесконечно малых функций.

 

Доказательство.

а.) – бесконечно малая функция при

выполняется неравенство

б.) – бесконечно малая функция при

выполняется неравенство

в.)

выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

Пример:

бесконечно малая функция при .

2.) - бесконечно малая функция при .

Доказательство.

а.) – бесконечно малая функция при .

выполняется неравенство |

б.) – бесконечно малая функция при .

выполняется неравенство

в.)

выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

 

3.) - бесконечно малая функция при .

Доказательство.

а.) – ограниченная в некоторой окрестности точки .

выполняется неравенство

б.) - бесконечно малая функция при .

выполняется условие

в.)

, выполняется

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

Пример:

– бесконечно малая при .

- ограниченная в некоторой окрестности точки 0.

- бесконечно малая при .

Основная теорема о пределах.

Лемма о функции, имеющей конечный предел.

Лемма. Функция имеет конечный предел при тогда и только тогда, когда в окрестности точки эту функцию можно представить в виде при , где – бесконечно малая функция при .

По определению предела:

выполняется неравенство

Пусть , тогда

Переписав определение для мы получим, что – бесконечно малая функция:

выполняется неравенство

выполняется неравенство

Пример:

1.) – бесконечно малая функция при

выполняется неравенство

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

2.) – бесконечно малая функция при

выполняется неравенство

Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.