Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное заранее неизвестное числовое значение. Каждой случайной величине Х соответствует некоторое множество чисел. Это – множество значений, которые может принимать величина Х.
Дискретная случайная величина – случайная величина Х, принимающая отдельные значения хi с вероятностями pi. Причем, если x1, x2, … – возможные значения величины Х, а р1, р2, … – их вероятности, то р1 + р2 + … = 1. Примером случайной величины может служить количество выпавших очков при подбрасывании игрального кубика:
x1 = 1, x2 = 2, …, x6 = 6, р1 = р2 = … = р6 = .
Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая принимает любые значения из некоторого интервала на множестве действительных чисел. Например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х – сумма всех произведений её возможных значений на их вероятности:
. (7.1)
Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание – среднее арифметическое значений.
Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
. (7.2)
Дисперсию можно вычислять по формуле: разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
. (7.3)
Пример 1. В качестве случайной величины Х возьмем число очков, выпавших на одной игральной кости. Вероятность выпадения каждой грани одинаковы и равны . Поэтому
.
xi
xi– М(Х)
– 2,5
– 1,5
– 0,5
0,5
1,5
3,5
Вероятность
У дисперсии есть недостаток: дисперсия измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина, а в квадратных. Но не для всех единиц измерения существуют квадратные (сантиметр – квадратный сантиметр, метр – квадратные метр; килограмм – ?, минута – ?). По этой причине вместо дисперсии часто используется мера рассеивания, которая называется средним квадратичным или стандартным отклонением* (и равна арифметическому квадратному корню из дисперсии.