Функция с областью определения D называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия:
1) функция определена в точке , т.е. ;
2) существует ;
3) .
На e-языке это определение можно записать следующим образом:
.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке : .
Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3), то точка называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:
а) существует, но функция не определена в точке или нарушено условие . В этом случае называется точкой устранимого разрыва;
б) если существуют односторонние пределы и , но , то называется точкой разрыва 1-го рода;
в) в остальных случаях называется точкой разрыва 2-го рода.
Свойства функций, непрерывных в точке
Если функции и непрерывны в точке , то также непрерывны в этой точке их сумма , разность , произведение , а также частное при условии, что .
Все многочлены являются непрерывными функциями во всех точках числовой прямой.
Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена (элементарной функцией называется функция, которая может быть выражена через функции С (С – константа), с помощью арифметических действий и образования сложной функции).
Замечание. Поскольку , то , т.е. для непрерывной функции символы предела и функции перестановочны.
Пример.
Доказать, что функция является непрерывной.
Решение.
Проверим необходимое и достаточное условие непрерывности:
Оно выполняется, значит, функция является непрерывной.
Пример.
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
Функция имеет разрыв в точке , т.к. в этой точке она не определена (рис.14). Найдем односторонние пределы:
.
Эти пределы не равны. Следовательно, точка – точка разрыва первого рода. На рисунке видно, что функция делает скачок. Этот скачок равен 2.
Пример.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
Решение.
Функция имеет разрыв в точке , т.к. в этой точке она не определена. Найдем односторонние пределы, используя первый замечательный предел:
.
Эти пределы равны, следовательно, точка – точка устранимого разрыва. Данную функцию можно доопределить до непрерывной, если наложить на нее дополнительное условие: .
Пример.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
Решение.
Точка является точкой разрыва второго рода, так как
.
Заметим, что второй односторонний предел конечен .
Задачи.
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке своей области определения:
6.95. ; 6.96. ;
6.97. ; 6.98. ;
6.99. ; 6.100. ;
6.101. ; 6.102. .
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной:
6.103. ; 6.104. ;
6.105. ; 6.106. ;
6.107. ; 6.108. ;
6.109. ; 6.110. ;
6.111. ; 6.112. .
Исследовать на непрерывность функции:
6.113.6.114.
Исследовать на непрерывность и построить график функции :