Бесконечно малые последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если

,

или .

Последовательность называется бесконечно большой, если

,

или .

Свойства бесконечно малых последовательностей

Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Если – бесконечно малая последовательность и , то – бесконечно большая, и наоборот, если – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая. Отсюда следует, что

.

Неопределенные выражения

Пусть . Тогда о пределе нельзя сказать ничего определенного. Рассмотрим примеры:

если , то

если , то

если , то

если , то не существует.

Говорят, что выражение при представляет собой неопределенность вида . Существуют и другие виды неопределенностей: Раскрыть соответствующую неопределенность означает найти предел (если он существует) соответствующего выражения.

Необходимое условие сходимости:для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточные условия сходимости:

а) если и неравенство выполняется для любого , то существует предел последовательности , равный , т.е. .

б) теорема Вейерштрасса.Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность имеет предел.

Важным примером возрастающей монотонной последовательности является Согласно теореме Вейерштрасса, эта последовательность имеет предел, который обозначается буквой е: . Число е иррационально и равно , оно имеет важное значение в приложениях. Полученный предел можно рассматривать как пример раскрытия неопределенности вида , который показывает, что произведение бесконечного числа множителей, каждый из которых стремится к единице, не всегда равно единице, в отличие от произведения конечного числа таких множителей.

Пример.

Пользуясь определением, доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение.

Последовательные значения членов последовательности: 1, -1, 1, … . Предположим, что последовательность имеет предел равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки при . Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1 и точку –1, потому что расстояние между этими точками равно 2 . Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит рассматриваемой окрестности. Но для , т.е. вне окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности . Так как а – произвольная точка, то по определению данная последовательность не имеет предела.

Пример.

Пользуясь определением, найти для последовательности при условии и .

Решение.

Предел последовательности равен нулю. По определению предела должно выполняться неравенство:

, т.е. .

Следовательно, при , а при .

Пример.

Вычислить пределы: а) ; б) .

Решение.

а) этот предел представляет собой неопределенность типа . Вынесем наивысшую степень n в числителе и знаменателе за скобку

.

Так как все пределы , то

.

б) этот предел представляет собой неопределенность типа . Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Задачи.

Найти предел последовательности ( ) и определить для номер такой, что при всех :

6.18. ; 6.19. ;

6.20. ; 6.21. ;

6.22. ; 6.23. .

Вычислить пределы:

6.24. ; 6.25. ;

6.26. ; 6.27. ;

6.28. ; 6.29. ;

6.30. ; 6.31. ;

6.32. ; 6.33. ;

6.34. ; 6.35. ;

6.36. ;

6.37. ;

6.38. ;

6.39. ;

6.40. .

Понятие функции

Пусть X и Y числовые множества и пусть каждому элементу х из множества Х ставится в соответствие по какому-то закону f один элемент у из множества Y. Тогда говорят, что определена функциональная зависимость у от х по закону . Независимая переменная х называется аргументом, а зависимая переменная у – значением функции. Множество Х – это область определения функции , а Y – область значений. Совокупность точек координатной плоскости хОу, удовлетворяющих уравнению , называется графиком этой функции.

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Число А называется пределом функции в точке , записывается , если для любого, сколь угодно малого, существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

На e-языке это определение можно записать следующим образом:

.

Выражение «предел функции в точке » часто заменяют выражением «предел функции при х, стремящемся к , или, предел функции при ».

Рассматривают также односторонние пределы функции: предел слева (х стремится к , оставаясь меньше ; ) и предел справа (х стремится к , оставаясь больше ; ). Если односторонние пределы равны: , то предел функции в точке существует и равен А. Если односторонние пределы различны, или хотя бы один из них не существует, то не существует и предела функции в соответствующей точке.

Поиск по сайту: