– преподаватель не читает лекции,
– Преподаватель не ведет практику
И
Конъюнкция
А и В
– Преподаватель
читает лекции и
(преподаватель) ведет практику
Или
Дизъюнкция
А или В
– Преподаватель
читает лекции или
(преподаватель) ведет практику
Если…, то …
Импликация
Если А, то В
– Если преподаватель
читает лекции, то он
(преподаватель) ведет практику
…, тогда
и только тогда, когда
Эквиваленция
А тогда и только тогда, когда В
Преподаватель
читает лекции тогда
и только тогда, когда он(преподаватель) ведет практику
1. Отрицание высказывания
Определение 1.Отрицанием высказывания Р называется новое высказывание, обозначаемое (читается: «Не Р» или «Неверно, что Р»), которое считается истинным, если высказывание Р ложно, и ложным, если Р истинно.
Иначе говоря, значения истинности высказываний Р и связаны между собой, как указано в следующей таблице:
Эта таблица читается по строкам. Например, первая строка под горизонтальной чертой означает: если , то . Приведенная таблица называется таблицей истинности для отрицания.
2. Конъюнкция высказываний
Определение 2.Конъюнкцией высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «Р и Q»), которое считается истинным, если истинны оба высказывания Р и Q, и ложным во всех остальных случаях.
Таким образом, значение истинности высказывания связано со значениями истинности высказываний Р и Q. Эта связь выражается таблицей:
Приведенная таблица называется таблицей истинности для конъюнкции.
Данное выше определение конъюнкции вполне отвечает тому смыслу, который придается в рассуждениях союзу «и». Действительно, привычная логика рассуждений требует, чтобы утверждение «Р и Q» было истинно лишь в одном случае: когда истинны оба утверждения Р и Q.
Примеры.
1. Высказывание «Число 2 четное и простое» является конъюнкцией высказываний: «Число 2 четное» и «Число 2 простое». Так как оба последних высказывания истинны, то истинна и их конъюнкция.
2. Высказывания «2 меньше 5» и «5 меньше 10» истинны, поэтому истинна и их конъюнкция «2 меньше 5 и 5 меньше 10». Последнее высказывание записывают обычно так: «2<5<10».
3. Дизъюнкция высказываний
Определение 3.Дизъюнкцией высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «Р или Q»), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из высказываний Р или Q, и ложно, если ложны оба высказывания Р и Q.
Значение истинности высказывания связано со значениями истинности высказываний Р и Q с помощью таблицы:
Эта таблица называется таблицей истинности для дизъюнкции.
Приведенное определение дизъюнкций вполне отвечает обычному употреблению союза «или». Действительно, в практике рассуждений утверждение «Р или Q» считается верным в любом из случаев, когда верно Р или Q; если же оба утверждения Р и Q неверны, то неверно и «Р или Q».
Примеры.
1. Высказывание «В неделе 10 дней или в году 12 месяцев» является дизъюнкцией двух высказываний: «В неделе 10 дней» и «В году 12 месяцев». Несмотря на кажущуюся странность такого высказывания, мы все же признаем его истинным, поскольку истинно одно из составляющих его высказываний («В году 12 месяцев»).
2. Высказывание «2<3» является дизъюнкцией высказываний «2<3» и «2=3», из которых первое истинно, а второе ложно. Следовательно, истинна и сама дизъюнкция.
4. Импликация высказываний
Определение 4.Импликацией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое (читается: «Если Р, то Q», или «Из Р следует Q», или «P влечет за собой Q»), которое ложно лишь в том случае, если Р истинно, a Q ложно.
Таблица истинности для импликации имеет вид
Данные выше определение импликации в основном отражает тот смысл, который придается в обычных рассуждениях связке «если..., то...». Единственное возражение может вызвать, пожалуй, лишь та строка таблицы, где , , . Однако с таким пониманием импликации приходится все же согласиться, поскольку принцип «Из лжи следует что угодно» представляется вполне оправданным.
Заметим, что при рассмотрении импликации P=>Q высказывание Р называют посылкой (или условием) импликации, а высказывание Q – ее заключением (или следствием).
Примеры.
1. Высказывание «Если Земля круглая, то » является импликацией высказываний «Земля круглая» и « ». Оно истинно, так как истинны оба последних высказывания.
2. Высказывание «Если , то число 5 – простое» есть импликация высказываний « » и «5 – простое». Оно истинно, поскольку посылка « » – Ложное высказывание.
5. Эквивалентность высказываний
Определение 5.Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «P эквивалентно Q», или «P тогда и только тогда, когда Q»), которой истинно в том и только в том случае, если Р и Q одновременно Истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности для эквивалентности выглядит следующим образом:
Примеры.
1.Высказывание «2 2 = 4» тогда и только тогда, когда Земля – шар" представляет собой эквиваленцию двух высказываний: «2 2 = 4» и «Земля – шар». Оно истинно, поскольку истины оба этих высказывания.
2. Высказывание «Небо синее в том и только в том случае, когда снег черный» является эквиваленцией высказываний «Небо синее» и «Снег черный». Оно ложно, так как одно из двух последних высказываний истинно, а другое ложно.
6. Логические операции как операции на множестве
Рассмотрим любую из логических операций, например операцию конъюнкции . Поскольку число полностью определяется числами и , мы можем оперировать не с высказываниями, а с числами 0 и 1, определив конъюнкцию
над ними с помощью таблицы
Аналогичные замечания можно сделать и по отношению к остальным логическим операциям.
Например, и т. д.
Таким образом, каждой логической операции над высказываниями соответствует некоторая функция, определенная на двухэлементном множестве и принимающая значения в том же множестве. Эту функцию мы будем называть тем же термином (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и т.д.), что и соответствующую логическую операцию.