Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Условные обозначения логических связок



Связка Операция Обозначение Правила чтения Пример А, В – преподаватель ведет практику
Не Отрицание Не А ­– преподаватель не читает лекции, – Преподаватель не ведет практику
И Конъюнкция А и В – Преподаватель читает лекции и (преподаватель) ведет практику
Или Дизъюнкция А или В – Преподаватель читает лекции или (преподаватель) ведет практику
Если…, то … Импликация Если А, то В – Если преподаватель читает лекции, то он (преподаватель) ведет практику
…, тогда и только тогда, когда Эквиваленция А тогда и только тогда, когда В Преподаватель читает лекции тогда и только тогда, когда он(преподаватель) ведет практику

 

1. Отрицание высказывания

Определение 1. Отрицанием высказывания Р называется новое высказывание, обозначаемое (читается: «Не Р» или «Неверно, что Р»), которое считается истинным, если высказывание Р ложно, и ложным, если Р истинно.

Иначе говоря, значения истинности высказываний Р и связаны между собой, как указано в следующей таблице:

Эта таблица читается по строкам. Например, первая строка под горизонтальной чертой означает: если , то . Приведенная таблица называется таблицей истинности для отрицания.

2. Конъюнкция высказываний

Определение 2. Конъюнкцией высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «Р и Q»), которое считается истинным, если истинны оба высказывания Р и Q, и ложным во всех остальных случаях.

Таким образом, значение истинности высказывания связано со значениями истинности высказываний Р и Q. Эта связь выражается таблицей:

Приведенная таблица называется таблицей истинности для конъюнкции.

Данное выше определение конъюнкции вполне отвечает тому смыслу, который придается в рассуждениях союзу «и». Действительно, привычная логика рассуждений требует, чтобы утверждение «Р и Q» было истинно лишь в одном случае: когда истинны оба утверждения Р и Q.

Примеры.

1. Высказывание «Число 2 четное и простое» является конъюнкцией высказываний: «Число 2 четное» и «Число 2 простое». Так как оба последних высказывания истинны, то истинна и их конъюнкция.

2. Высказывания «2 меньше 5» и «5 меньше 10» истинны, поэтому истинна и их конъюнкция «2 меньше 5 и 5 меньше 10». Последнее высказывание записывают обычно так: «2<5<10».

3. Дизъюнкция высказываний

Определение 3. Дизъюнкцией высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «Р или Q»), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из высказываний Р или Q, и ложно, если ложны оба высказывания Р и Q.

Значение истинности высказывания связано со значениями истинности высказываний Р и Q с помощью таблицы:

Эта таблица называется таблицей истинности для дизъюнкции.

Приведенное определение дизъюнкций вполне отвечает обычному употреблению союза «или». Действительно, в практике рассуждений утверждение «Р или Q» считается верным в любом из случаев, когда верно Р или Q; если же оба утверждения Р и Q неверны, то неверно и «Р или Q».

Примеры.

1. Высказывание «В неделе 10 дней или в году 12 месяцев» является дизъюнкцией двух высказываний: «В неделе 10 дней» и «В году 12 месяцев». Несмотря на кажущуюся странность такого высказывания, мы все же признаем его истинным, поскольку истинно одно из составляющих его высказываний («В году 12 месяцев»).

2. Высказывание «2<3» является дизъюнкцией высказываний «2<3» и «2=3», из которых первое истинно, а второе ложно. Следовательно, истинна и сама дизъюнкция.

4. Импликация высказываний

Определение 4. Импликацией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое (читается: «Если Р, то Q», или «Из Р следует Q», или «P влечет за собой Q»), которое ложно лишь в том случае, если Р истинно, a Q ложно.

Таблица истинности для импликации имеет вид

 

Данные выше определение импликации в основном отражает тот смысл, который придается в обычных рассуждениях связке «если..., то...». Единственное возражение может вызвать, пожалуй, лишь та строка таблицы, где , , . Однако с таким пониманием импликации приходится все же согласиться, поскольку принцип «Из лжи следует что угодно» представляется вполне оправданным.

Заметим, что при рассмотрении импликации P=>Q высказывание Р называют посылкой (или условием) импликации, а высказывание Q – ее заключением (или следствием).

Примеры.

1. Высказывание «Если Земля круглая, то » является импли­кацией высказываний «Земля круглая» и « ». Оно истинно, так как истинны оба последних высказывания.

2. Высказывание «Если , то число 5 – простое» есть импликация выска­зываний « » и «5 – простое». Оно истинно, поскольку посылка « » – Ложное высказывание.

5. Эквивалентность высказываний

Определение 5. Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний Р и Q называется новое высказывание, обозначаемое (читается «P эквивалентно Q», или «P тогда и только тогда, когда Q»), которой истинно в том и только в том случае, если Р и Q одновременно Истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности для эквивалентности выглядит следующим образом:

Примеры.

1.Высказывание «2 2 = 4» тогда и только тогда, когда Земля – шар" представляет собой эквиваленцию двух высказываний: «2 2 = 4» и «Земля – шар». Оно истинно, поскольку истины оба этих высказывания.

2. Высказывание «Небо синее в том и только в том случае, когда снег черный» является эквиваленцией высказываний «Небо синее» и «Снег черный». Оно ложно, так как одно из двух последних высказываний истинно, а другое ложно.

6. Логические операции как операции на множестве

Рассмотрим любую из логических операций, например операцию конъюнкции . Поскольку число полностью определяется числами и , мы можем оперировать не с высказываниями, а с числами 0 и 1, определив конъюнкцию

над ними с помощью таблицы

Аналогичные замечания можно сделать и по отношению к остальным логическим операциям.

Например, и т. д.

Таким образом, каждой логической операции над высказываниями соответствует некоторая функция, определенная на двухэлементном множестве и принимающая значения в том же множестве. Эту функцию мы будем называть тем же термином (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и т.д.), что и соответствующую логическую операцию.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.